[論文レビュー] Permutation polynomials of finite fields

Christopher J. Shallue|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の6次順列多項式（PP）の分類を再構築し、1897年にディクソンが提示した分類における長年の曖昧さを解消する。最近の結果とディクソンの業績を統合することで、6次PP分類の完全性を確認し、奇数で十分大きな $ q $ に対してカルツィット予想を証明するとともに、ムレンの一般化された予想に対して反例を提示し、n次多項式が順列多項式に近いとされる条件を精緻化する。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_q$ be the finite field of $q$ elements. Then a \emph{permutation polynomial} (PP) of $\mathbb{F}_q$ is a polynomial $f \in \mathbb{F}_q[x]$ such that the associated function $c \mapsto f(c)$ is a permutation of the elements of $\mathbb{F}_q$. In 1897 Dickson gave what he claimed to be a complete list of PPs of degree at most 6, however there have been suggestions recently that this classification might be incomplete. Unfortunately, Dickson's claim of a full characterisation is not easily verified because his published proof is difficult to follow. This is mainly due to antiquated terminology. In this project we present a full reconstruction of the classification of degree 6 PPs, which combined with a recent paper by Li \emph{et al.} finally puts to rest the characterisation problem of PPs of degree up to 6. In addition, we give a survey of the major results on PPs since Dickson's 1897 paper. Particular emphasis is placed on the proof of the so-called \emph{Carlitz Conjecture}, which states that if $q$ is odd and `large' and $n$ is even then there are no PPs of degree $n$. This important result was resolved in the affirmative by research spanning three decades. A generalisation of Carlitz's conjecture due to Mullen proposes that if $q$ is odd and `large' and $n$ is even then no polynomial of degree $n$ is `close' to being a PP. This has remained an unresolved problem in published literature. We provide a counterexample to Mullen's conjecture, and also point out how recent results imply a more general version of this statement (provided one increases what is meant by $q$ being `large').

研究の動機と目的

• 有限体上での6次以下の順列多項式のディクソン1897年分類における矛盾や欠落を解消すること。
• 現代的な言語と道具を用いて、有限体上での6次順列多項式の分類を厳密に再構築すること。
• 奇数で十分大きな有限体に対して、カルツィット予想の正当性を確認すること。
• ムレンの一般化された予想——偶数次多項式は大きな奇数の有限体上で「順列多項式に近い」ものではない——を検証または反証すること。
• 特に対数3の有限体 $F_{3^2}$ および $F_{3^r}$（$r > 2$）における6次正規多項式（orthomorphism）多項式の分類を実施すること。

提案手法

• 有限体の算術および $x^q - x$ を法とする多項式の還元を特に重視し、現代的な代数的用語と道具を用いてディクソンの元来の分類を再構築する。
• 順列多項式のためのヘルメの基準および他の既知の基準を適用し、$F_q$ 上での6次PPを検証および分類する。
• 任意の関数を $F_q$ 上で一意に表現するカルツィット補間公式を用い、系統的な解析を可能にする。
• 線形変換および正規化技術を用いて、分類問題を標準形に還元する。
• 多項式 $f(x) - x$ の構造を分析し、$F_{3^2}$ および $F_{3^r}$（$r > 2$）における体固有の性質を活用して正規多項式多項式を同定する。
• $F_{3^2}$ および $F_{3^3}$ における係数制約と体の構造を分析することで、ムレンの予想に対する明示的な反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディクソン1897年の有限体上での6次以下の順列多項式の分類は、完全かつ正しいか？
• RQ2 カルツィット予想——奇数で十分大きな有限体上では偶数次順列多項式は存在しない——は真であるか？
• RQ3 ムレンの一般化された予想——大きな奇数の有限体上では偶数次多項式は「順列多項式に近い」ものではない——は検証可能か、あるいは反証可能か？
• RQ4 $F_{3^2}$ および $F_{3^r}$（$r > 2$）における6次順列多項式および正規多項式多項式の完全な集合は何か？
• RQ5 係数および体の特徴が、6次多項式が順列多項式または正規多項式多項式であるための条件としてどのような制約を課えるか？

主な発見

• 有限体上での6次順列多項式の分類が完全に再構築され、ディクソンの元来の作業における曖昧さが解消された。
• カルツィット予想が裏付けられた：奇数で十分大きな $q$ に対して、偶数次順列多項式は存在しない。
• ムレンの一般化された予想に対して反例が構成され、特定の $q$ に対して偶数次多項式が「順列多項式に近い」ものである可能性があることが示された。
• 本稿では、$F_{3^2}$ 上には6次正規多項式多項式が存在するが、$F_{3^r}$（$r > 2$）上には存在しないことが確立され、$F_{3^2}$ における完全な分類が提供された。
• 係数および体の元に制約を課した、$q = 3^2$、$q = 7$、$q = 9$、$q = 11$ などのさまざまな $q$ に対する6次PPの明示的正規形がリストアップされた。
• $F_{3^2}$ 上での6次PPの分類には、$a \neq 0$ および追加のパラメータ $b$、$ heta$、$ heta = \text{根 of } x^2 - 2$ を含む5つの異なる族が含まれており、特定の係数制約が与えられている。