[論文レビュー] Permutation polynomials of the form x+c*Tr(x^k)

Gohar Kyureghyan, Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体 $\mathbb{F}_{q^n}$ 上の形 $X + \gamma \operatorname{Tr}_{q^n/q}(X^k)$ の置換多項式を分類し、$q$, $n$, $k$, $\gamma$ に関する特定の条件下でそれが体を置換することを証明する。多様な手法—トレース関数の解析、単位根の置換基準、グレブナー基底、平面関数の技法など—を用いて、9つの異なる族を確立し、このような二項置換多項式の包括的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let F_{q^n} be the field of order q^n, and let Tr be the trace map from F_{q^n} to its q-element subfield. We exhibit nine sequences of polynomials of the form f(x):=x+c*Tr(x^k), with c in F_{q^n}, such that for each polynomial the function F_{q^n}-->F_{q^n} given by c-->f(c) is a permutation of F_{q^n}. We also computed all permutation polynomials of this form over finite fields of size less than 5000, and found that our examples comprise all examples with n>1 except for some simple cases where the polynomial induces a homomorphism of the additive group of F_{q^n}, along with a few sporadic examples. One intriguing feature is that our proofs of the different sequences use various different methods, including a new variant of Dobbertin's method among others.

研究の動機と目的

• 非自明な場合を除き、有限体 $\mathbb{F}_{q^n}$ 上の形 $X + \gamma \operatorname{Tr}_{q^n/q}(X^k)$ の置換多項式を体系的に同定し、分類すること。
• $\gamma \in \mathbb{F}_{q^n}^*$ かつ $k$ が $p$ のべきでない場合に、このような二項式が $\mathbb{F}_{q^n}$ を置換する構造的・算術的条件を理解すること。
• トレース関数の操作、単位根の置換基準、グレブナー基底の計算といった、散在する手法を統合し、置換性を証明する一貫した枠組みを構築すること。
• 観察された置換多項式がランダムではなく、深い代数的・数論的構造から生じることを示すこと。
• このような置換多項式の大部分が、定理1.1にリストされた9つの族に含まれており、それらの族の外側には僅かな例外ケースしか存在しないこと。

提案手法

• 置換性が $\mu_{(q^n-1)/(q-1)}$ すなわち $(q^n-1)/(q-1)$ 乗単位根の集合への置換に帰着されることを示すために、命題2.2を用いる。
• 有理関数とべき写像によるトレース条件の再定式化を適用し、(a)～(d)および(g)のケースにおける検証を簡略化する。
• 他の手法が失敗するケース(e)および(f)を処理するために、多変数多項式環におけるグレブナー基底計算に基づくドゥーベルチンの手法の変種を用いる。
• ケース(h)では、平方・非平方分解戦略を採用し、アフィン同値性を平面関数に活用して、各集合への置換性を別々に示す。
• ケース(i)では、命題2.2の加法的類似版（命題2.1）を適用し、置換条件を $\mathbb{F}_q$ 上で $X + c$ に同値な関数を誘導する関連多項式のチェックに還元する。
• ケース(h)で重要な恒等式 $L(H(x^2)) = L(x)^2$ を用い、平方・非平方への作用を自乗写像と結びつけ、直接的な全単射性の検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q$, $n$, $k$, $\gamma$ にどのような条件下で多項式 $X + \gamma \operatorname{Tr}_{q^n/q}(X^k)$ は $\mathbb{F}_{q^n}$ を置換するか？
• RQ2 すべての関数 $\mathbb{F}_{q^n} \to \mathbb{F}_{q^n}$ の中で置換関数の密度が非常に低いにもかかわらず、なぜこのような置換多項式が多数存在するのか？
• RQ3 無限族の置換二項式が存在する背後にある構造的または数論的根拠は何か？
• RQ4 根の単位根の置換、グレブナー基底、平面関数の手法といった、異なる代数的技法を効果的に統合して置換性を証明する方法は何か？
• RQ5 定理1.1に記載された族が、この形の非自明な置換多項式をどの程度まで網羅しているか？

主な発見

• $n=2$, $q \equiv \pm 1 \pmod{6}$, $\gamma = -1/3$, $k = 2q - 1$ のとき、多項式は $\mu_{q+1}$ 上での有理関数の置換により $\mathbb{F}_{q^2}$ を置換する。
• $n=2$, $q \equiv 5 \pmod{6}$, $\gamma^3 = -1/27$, $k = 2q - 1$ のとき、多項式は $\mathbb{F}_{q^2}$ を置換する。証明は、単位根上での立方有理関数の挙動に依存する。
• $n=2$, $q \equiv 1 \pmod{3}$, $\gamma = 1$, $k = (q^2 + q + 1)/3$ のとき、多項式は $\mathbb{F}_{q^2}$ を置換する。これは、$X^N$ が $\mu_{q+1}$ を置換するからである。
• $n=2$, $q \equiv 1 \pmod{4}$, $(2\gamma)^{(q+1)/2} = 1$, $k = (q+1)^2/4$ のとき、多項式は $\mu_{q+1}$ 上の平方・非平方への作用を別々に分析することで $\mathbb{F}_{q^2}$ を置換する。
• $n=3$, $q$ が奇数, $\gamma = 1$, $k = (q^2 + 1)/2$ のとき、多項式は命題2.2の二度の適用と $X^{q^2+q+1} - 1$ での剰余に還元することで $\mathbb{F}_{q^3}$ を置換する。
• $n=2\ell r$, $\gamma^{q^{2\ell}-1} = -1$, $k = q^\ell + 1$ のとき、多項式は関連する加法的多項式が $\mathbb{F}_q$ 上で $X + c$ の関数を誘導することを示すことにより $\mathbb{F}_{q^n}$ を置換する。命題2.1により保証される。