[論文レビュー] Permutations containing a pattern exactly once and avoiding at least two patterns of three letters

Toufik Mansour|ArXiv.org|Feb 1, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、与えられたパターン τ をちょうど一度含み、少なくとも2つの3文字パターンを回避する順列の母関数の明示的公式および再帰的関係を提供する。構造的分解と母関数技法を用い、|T| = 2, 3, ≥4 のすべてのケースについて、Sₙ(T;τ) の濃度の閉形式または再帰的関係を導出する。主な貢献は、母関数を用いたこれらのほぼウィルフクラス集合の完全な列挙的特徴付けである。

ABSTRACT

In this paper, we find an explicit formulas, or recurrences, in terms of generating functions for the cardinalities of the sets $S_n(T;τ)$ of all permutations in $S_n$ that contain $τ\in S_k$ exactly once and avoid a subset $T\subseteq S_3$, $|T|\geq2$. The main body of the paper is divided into three sections corresponding to the cases $|T|=2,3$ and $|T|\geq4$.

研究の動機と目的

• 特定のパターン τ をちょうど一度含み、少なくとも2つの3文字パターンからなる集合 T を回避する順列を列挙すること。
• ウィルフ同値性の原則に基づき、このような順列集合をほぼウィルフクラスに分類すること。
• すべての有効な T と τ の組み合わせについて、Sₙ(T;τ) の濃度の明示的母関数公式または再帰的関係を導出すること。
• 複数の回避条件と併せて、正確に一度のパターン含有（一度だけ）を組み込んだ、先行研究のパターン回避の拡張を行うこと。

提案手法

• 本稿では、順列における最大要素 n の位置に基づく構造的分解を用い、3文字パターン回避順列に関する既知の結果を活用する。
• 母関数技法、特に再帰的関係を用い、|Sₙ(T;τ)| の母関数 Aₜ(x) をより小さい部分問題の関数として表現する。
• |T|=2,3,≥4 の各ケースについて、補完、反転、逆写像の対称性を用いて、ウィルフおよびほぼウィルフクラスの標準的代表元を同定する。
• 特定の3文字パターンを回避する順列の構造を特徴付けるために、Mansour (2002) や Simion-Schmidt (1995) の先行結果に依拠する。
• τ の形と T の構造に基づく場合分けによる解析を実施し、特に最大の減少または増加の接頭部に注目する。
• |T|≥4 の場合、Erdős–Szekeres の定理を用いて、回避および含有条件を満たす順列が有限個であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた k 文字パターン τ をちょうど一度含み、少なくとも2つの3文字パターンからなる集合 T を回避する長さ n の順列の数の母関数は何か？
• RQ2 τ の構造と T の選択に応じて、Sₙ(T;τ) の母関数はどのように変化するか。特に |T|=2,3,または ≥4 の場合に注目する。
• RQ3 どの T と τ の組み合わせが有限または無限の順列集合を生成し、それぞれのケースにおける正確な母関数は何か？
• RQ4 正確なパターン含有（一度だけ）と複数の回避条件を組み合わせた場合、ほぼウィルフクラス構造を完全に特徴付けられるか？
• RQ5 すべての有効な T と τ について、Sₙ(T;τ) の母関数の明示的閉形式または再帰的表現は何か？

主な発見

• |T|=2 の場合、本稿では τ の最大減少または増加接頭部に基づいた Aₜ(x) の再帰的関係を提供し、τ' が空かどうかに応じて明示的公式が得られる。
• T={123,132,213} の場合、τ=(k−1,k,τ') に対しては Eₜ(x)=x²/(1−x)⋅Eₜ'(x)、τ=(k,τ') に対しては Eₜ(x)=x⋅Eₜ'(x) が成り立ち、小さな τ に対する初期条件が与えられる。
• T={123,132,231} の場合、τ=(k,…,2,1)、(k,…,k−r+1,k−r−1,…,1,k−r)、(k,…,2,1) に対しては Fₜ(x)=xᵏ が成り立ち、Fₜ(x)=xᵏ+(k−1)xᵏ⁺¹ が成り立つ。
• T={132,213,231} の場合、τ=(k,…,r+1,1,2,…,r) に対しては Hₜ(x)=xᵏ が成り立ち、τ=(1,2,…,k) に対しては Hₜ(x)=xᵏ/(1−x) が成り立つ。
• |T|≥4 の場合、|Sₙ(T;τ)| は τ と n が特定の条件を満たす場合にのみ 1 であり、それ以外は 0 である。τ と n に関する明示的条件が与えられる。
• すべての |T|≥4 のケースにおいて、非ゼロとなる値は τ が逆順の恒等置換または恒等置換の場合にのみ発生し、n=k または n=k+1 の場合に限る。