[論文レビュー] Permutations of Strongly Self-Absorbing C*-algebras

Ilan Hirshberg, Wilhelm Winter|ArXiv.org|Aug 1, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、C*-代数の有限群作用による交叉積が、元の代数が特定の無限型UHF代数、Jiang-Su代数 𝒪₂、または近似的に可除な代数を吸収する場合、強い自己吸収性を保つことを確立する。主な結果は、𝒜 の中心列代数へ 𝒟⊗ⁿ から G-不変な単位元を保つホモオモルフィズムが存在するならば、交叉積 𝒜×G が 𝒟-吸収性を有することを示しており、Rokhlin型作用を超える永続性結果を拡張する。

ABSTRACT

Let G be a finite group acting on {1,...,n}. For any C*-algebra A, this defines an action of αof G on A^{\otimes n}. We show that if A tensorially absorbs a UHF algebra of infinite type, the Jiang-Su algebra, or is approximately divisible, then A imes_α G has the corresponding property as well.

研究の動機と目的

• Rokhlin性質を持つ作用を超える、C*-代数における強い自己吸収性の永続性結果を拡張すること。
• 有限置換作用による交叉積が、既知の強い自己吸収的C*-代数 𝒟 に対して 𝒟-吸収性を保つかどうかを調査すること。
• 𝒜 が 𝒟-安定的または近似的に可除的である場合に、𝒜×G が 𝒟-吸収性をどのように継承するかの条件を確立すること。
• 対称群作用下でのテンソル積の固定点代数への 𝒟 の単位元埋め込みの構成的証明を提供すること。

提案手法

• 𝒜 の中心列代数 ℳ(𝒜)∞ ∩ 𝒜′ へ G-不変な単位元を保つホモオモルフィズム ψ: 𝒟⊗ⁿ → ℳ(𝒜)∞ ∩ 𝒜′ を用いて、作用構造を中心列代数へ持ち上げる。
• 特定の 𝒟 に対して、(𝒟⊗ⁿ)ˢⁿ への単位元埋め込みを構成する。これには、無限型UHF代数、Jiang-Su代数 ℤ、および Mₚ⊕M_q（p,q > n）を含む。
• 単体 Δ = [0,1]ⁿ/Sₙ 上のC*-代数のファイバーごとの解析を適用し、(ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ のすべてのファイバーが ℤ-吸収的であることを示す。
• UHF代数が型 2∞ または 3∞ である場合、[JS, Theorem 5] より ℤ-吸収的であることを用いて、固定点代数の ℤ-吸収性を導出する。
• 対称群作用のテンソル積における構造を活用し、固定点部分代数がUHF代数を吸収することを示す。
• Theorem 2.4（[HRW] より）を用いて、有限被覆次元を適用し、(ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ が ℤ-吸収的であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限置換作用による交叉積 𝒜×G が、強い自己吸収的C*-代数 𝒟 に対して 𝒟-吸収性を保つ条件は何か？
• RQ2 Rokhlin性質を欠く場合、例えばテンソル積への対称群作用のように、𝒟-吸収性が保持されるか？
• RQ3 𝒟 = ℰ = C([0,1], M₂∞⊗M₃∞) で、対称群作用の下での固定点代数 (𝒟⊗ⁿ)ˢⁿ にJiang-Su代数 ℤ の単位元埋め込みが存在するか？
• RQ4 𝒟 が無限型UHF代数である場合、対称群作用下でのテンソル積の固定点代数がUHF代数を吸収するか？
• RQ5 近似的可除性の永続性は、置換作用下の交叉積へ拡張可能か？

主な発見

• 𝒜 が無限型UHF代数、Jiang-Su代数 ℤ、𝒪₂ または 𝒪∞ に対して 𝒟-安定的である場合、任意の有限置換作用 G に対して 𝒜×G は 𝒟-吸収的である。
• 𝒟 = ℤ の場合、単位元埋め込み ℤ → (ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ が存在する。ここで ℰ = {f ∈ C([0,1], M₂∞⊗M₃∞) | f(0) ∈ M₂∞⊗1, f(1) ∈ 1⊗M₃∞} であり、単体 Δ 上のファイバーごとの解析により示される。
• 固定点代数 (ℰ⊗ⁿ)ˢⁿ は、すべてのファイバーが ℤ-吸収的であり、Δ が有限被覆次元を持つことから ℤ-吸収的である。
• 固定点部分代数 (ℰₛⱼ⊗ᵏʲ)ˢᵏʲ は、型 2∞ または 3∞ のUHF代数を吸収し、[JS, Theorem 5] より ℤ-吸収的である。
• 𝒟 = Mₚ⊕M_q（p,q > n）の場合、ホモオモルフィズム ψ: 𝒟⊗ⁿ → ℳ(𝒜)∞ ∩ 𝒜′ が G-不変な単位元を保つならば、𝒜×G は近似的に可除的である。
• Rokhlin性質を欠く場合でも、例えば ℤ が ℤ⊗ⁿ に置換作用を施す場合（射影子が存在しないためRokhlin作用が存在しない）でも、この結果は成り立つ。