[論文レビュー] Permutations with given peak set

Sara Billey, Krzysztof Burdzy+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、指定されたピーク集合を持つ順列を調査し、任意の固定されたピーク集合 $ S $ に対して、$ n $-順列のうちピーク集合が $ S $ であるものの数が、$ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $ に漸近的に等しいことを証明している。ここで $ p(n) $ は $ S $ に依存する $ n $ の多項式である。主な貢献は、与えられたピーク集合を持つ順列を正確に数える多項式時間の列挙公式であり、$ S $ のさまざまなケースについて $ p(n) $ を明示的に計算した。これには $ S $ が $ n $ に依存する場合も含まれる。さらに、係数の非負性に関する予想と、ピーク集合の最大化に関する予想も提示している。

ABSTRACT

Let Sym_n denote the symmetric group of all permutations pi = a_1...a_n of {1,...,n}. An index i is a peak of pi if a_{i-1} < a_i > a_{i+1} and we let P(pi) be the set of peaks of pi. Given any set S of positive integers we define P(S;n) to be the set pi in Sym_n with P(pi)=S. Our main result is that for all fixed subsets of positive integers S and all sufficiently large n we have #P(S;n)= p(n) 2^{n-#S-1} for some polynomial p(n) depending on S. We explicitly compute p(n) for various S of probabilistic interest, including certain cases where S depends on n. We also discuss two conjectures, one about positivity of the coefficients of the expansion of p(n) in a binomial coefficient basis, and the other about sets S maximizing #P(S;n) when #S is fixed.

研究の動機と目的

• ピークとは、$ a_{i-1} < a_i > a_{i+1} $ を満たすインデックス $ i $ である。固定されたピーク集合 $ S $ を持つ $ \mathfrak{S}_n $ 内の順列の数を特徴づけること。
• 任意の固定された妥当なピーク集合 $ S $ に対して、そのような順列の数が $ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $ に漸近的に成長することを確立すること。ここで $ p(n) $ は $ n $ の多項式である。
• さまざまな $ S $ に対して、ピーク多項式 $ p(n) $ を明示的に計算すること。これには確率論的に関心のあるケースや、$ n $ に依存するものも含まれる。
• 2つの予想を検討すること：1つ目は、$ p(n) $ を二項係数基底で展開した際の係数の非負性に関するもので、2つ目は、固定された $ \#S $ に対して $ \#P(S;n) $ を最大にする $ S $ は何かという問題である。

提案手法

• 最小の要素（1）の位置に基づく順列の帰納的分解と再帰的分解を用いて、主な列挙公式を導出すること。
• 順列 $ \mathfrak{S}_n $ においてある集合 $ S $ がピーク集合として現れうることを保証するための $ n $-妥当性の定義。
• 組合せ的分解の応用：$ \pi \in P(S;n) $ に対して、各ピーク回りの要素の相対的順序が $ \pi $ の構造を制約し、部分集合選択による再帰的数え上げが可能になる。
• 特定の $ S $ に対して $ p(n) $ を明示的に計算する。これには $ S = \emptyset $、$ S = \{m\} $、$ S = \{2,m\} $、$ S = \{2,m,n-1\} $ が含まれる。二項係数と場合分けを用いて計算を行う。
• ピークと谷の両方を持つ順列への手法の拡張：$ PV(S;n) $ を定義し、$ \#PV(S;n) = q(n) $ が成り立つことを証明する。ここで $ q(n) $ は次数 $ \max S - 1 $ の多項式である。
• 既知の再帰関係（例えば、David と Barton の $ f(s,n) $ に関する再帰式）を用いて主公式を検証し、小さなピーク数のケースにおける明示的閉形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたピーク位置集合 $ S $ に対して、$ \mathfrak{S}_n $ 内のピーク集合が $ S $ である順列の数の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ2 そのような順列の数が $ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $ と表され、ここで $ p(n) $ が $ n $ の多項式である場合、$ p(n) $ をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 ピーク多項式 $ p(n) $ の構造は何か？ また、$ p(n) $ を二項係数基底で展開した際、その係数は非負のまま保たれるか？
• RQ4 固定されたサイズのピーク集合 $ S $ において、$ \mathfrak{S}_n $ 内のピーク集合が $ S $ である順列の数を最大にする $ S $ は何か？
• RQ5 この手法をピークと谷の両方を持つ順列にどのように拡張できるか？ その結果得られる列挙公式は何か？

主な発見

• 任意の固定された妥当なピーク集合 $ S = \{i_1 < \cdots < i_s\} $ に対して、$ \mathfrak{S}_n $ 内のピーク集合が $ S $ である順列の数は、$ \#P(S;n) = p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $ であり、ここで $ p(n) $ は次数 $ i_s - 1 $ の多項式である。
• ピーク多項式 $ p(n) $ は整数値多項式である。$ S = \emptyset $ の場合、$ \#P(\emptyset;n) = 2^{n-1} $ であり、これは $ p(n) = 1 $ に対応する。
• $ S = \{m\} $ の場合、ピーク多項式は $ p(n) = \binom{n-1}{m-1} $ であり、$ \#P(\{m\};n) = \binom{n-1}{m-1} \cdot 2^{n - 2} $ となる。
• $ S = \{2,m\} $ の場合、ピーク多項式は $ p(n) = \binom{n-2}{m-2} + (m-2)\binom{n-1}{m-1} $ であり、$ \#P(\{2,m\};n) = \left[ \binom{n-2}{m-2} + (m-2)\binom{n-1}{m-1} \right] \cdot 2^{n - 3} $ となる。
• $ S = \{2,m,n-1\} $ の場合、ピーク多項式は $ p(n) = 2(n-1)\left[ \binom{n-4}{m-2} + (m-2)\binom{n-3}{m-1} \right] $ であり、$ \#P(\{2,m,n-1\};n) = p(n) \cdot 2^{n - 4} $ となる。
• 本稿では、正確に1つのピークを持つ順列の数を表す既知の公式 $ f(1,n) = 2^{2n-3} - n \cdot 2^{n-2} $ が、主定理と計算されたピーク多項式から導かれることが検証されている。