[論文レビュー] Permutations with restricted patterns and Dyck paths

Christian Krattenthaler|ArXiv.org|Feb 24, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、132を避ける順列とDyckパスの間の直接的な全単射を確立し、既知のMotzkinおよびDyckパスに関する結果を用いて、パターン回避順列の母関数を連分数およびチェビシェフ多項式に翻訳することを可能にする。主な貢献は、この組合せ的対応から得られる、サイズ $ n $ の132を避ける順列のうち、パターン $ 12\dots k $ をちょうど $ r $ 回含むものの数に対する明確な漸近的推定値である。

ABSTRACT

We exhibit a bijection between 132-avoiding permutations and Dyck paths. Using this bijection, it is shown that all the recently discovered results on generating functions for 132-avoiding permutations with a given number of occurrences of the pattern $12... k$ follow directly from old results on the enumeration of Motzkin paths, among which is a continued fraction result due to Flajolet. As a bonus, we use these observations to derive further results and a precise asymptotic estimate for the number of 132-avoiding permutations of $\{1,2,...,n\}$ with exactly $r$ occurrences of the pattern $12... k$. Second, we exhibit a bijection between 123-avoiding permutations and Dyck paths. When combined with a result of Roblet and Viennot, this bijection allows us to express the generating function for 123-avoiding permutations with a given number of occurrences of the pattern $(k-1)(k-2)... 1k$ in form of a continued fraction and to derive further results for these permutations.

研究の動機と目的

• 132を避ける順列とDyckパスの間の組合せ的全単射を確立し、パターン回避順列母関数の解析を統一的かつ簡素化すること。
• 132を避ける順列の母関数で、パターン $ 12\dots k $ の出現回数が固定されている場合、Motzkinパスに関する既知の結果から導出可能であることを示すこと。
• サイズ $ \{1,2,\dots,n\} $ の132を避ける順列のうち、パターン $ 12\dots k $ をちょうど $ r $ 回含むものの数に対する明確な漸近的推定を提供すること。
• 123を避ける順列に対しても、Dyckパスとの全単射を構築し、RobletとViennotによるDyckパスの数え上げに関する結果と組み合わせることで、そのアプローチを拡張すること。

提案手法

• 左から右へ読み進める順列の各要素に対して、右側に存在するより大きな要素の数に応じて上昇ステップと下降ステップを追加することで、132を避ける順列からDyckパスを構成する写像 $ \Phi $ を定義する。
• DyckパスとMotzkinパスの既知の対応関係を用い、FlajoletのMotzkinパス母関数に対する連分数結果を適用する。
• パターン $ 12\dots k $ をちょうど $ r $ 回含む132を避ける順列の母関数を、第二種チェビシェフ多項式を含む有理関数として表現する。
• 123を避ける順列とDyckパスの間の全単射を活用し、ピークおよび非ピークの下降ステップに重みを付けるDyckパスの母関数に関するRobletとViennotの連分数公式を組み合わせる。
• 移動行列法およびパスグラフ上のウォークの生成関数の行列式に基づく表現を用い、重み付きパスの個数の閉形式を得る。
• 多項式の逆変換 $ p^*(x) = x^n p(1/x) $ を用いて、母関数を直交多項式および連分数の形に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パターン $ 12\dots k $ をちょうど $ r $ 回含む132を避ける順列の母関数を、閉形式でどのように表現できるか。
• RQ2 サイズ $ n $ の132を避ける順列のうち、パターン $ 12\dots k $ をちょうど $ r $ 回含むものの数の漸近的成長率は何か。
• RQ3 123を避ける順列とDyckパスの間の全単射を構築可能か。また、それらは既存の全単射とどのように関係するか。
• RQ4 Dyckパスの連分数母関数は、特定のパターン出現を伴う123を避ける順列の母関数にどのように翻訳されるか。

主な発見

• パターン $ 12\dots k $ をちょうど $ r $ 回含む132を避ける順列の母関数が、第二種チェビシェフ多項式を用いて明示的に表現される。
• サイズ $ \{1,2,\dots,n\} $ の132を避ける順列のうち、パターン $ 12\dots k $ をちょうど $ r $ 回含むものの数に対する明確な漸近的推定が、$ n \to \infty $ の下で得られた。
• 123を避ける順列とDyckパスの間の新しい全単射が構築され、これはSimion–Schmidtの全単射とは異なる。
• パターン $ (k-1)(k-2)\dots 1k $ の出現回数が与えられた123を避ける順列の母関数が、RobletとViennotの結果を用いて連分数として表現された。
• 連分数を含む母関数とチェビシェフ多項式との間の関係が、本質的にDyckパスの数え上げに起因することを示した。
• 本稿では、Dyckパスの枠組みを用いて、132を避けるおよび123を避ける順列のパターン数制限に関する先行研究のすべてを回復・拡張した。