[論文レビュー] Permutohedra, associahedra, and beyond

Alexander Postnikov|ArXiv.org|Jul 7, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、単体のミンコフスキー和として得られる一般化 permutohedra — 特に体積および Ehrhart 多項式における係数としての混合オイラー数を導入する。これにより、置換、2分木、混合体積を通じた組合せ的公式が得られる。一般化 permutohedra 間の双対性が確立され、格子点数を保存するものであり、根系にわたるカタラン数およびオイラー数の一般化を実現する。

ABSTRACT

The volume and the number of lattice points of the permutohedron P_n are given by certain multivariate polynomials that have remarkable combinatorial properties. We give several different formulas for these polynomials. We also study a more general class of polytopes that includes the permutohedron, the associahedron, the cyclohedron, the Pitman-Stanley polytope, and various generalized associahedra related to wonderful compactifications of De Concini-Procesi. These polytopes are constructed as Minkowski sums of simplices. We calculate their volumes and describe their combinatorial structure. The coefficients of monomials in Vol P_n are certain positive integer numbers, which we call the mixed Eulerian numbers. These numbers are equal to the mixed volumes of hypersimplices. Various specializations of these numbers give the usual Eulerian numbers, the Catalan numbers, the numbers (n+1)^{n-1} of trees, the binomial coefficients, etc. We calculate the mixed Eulerian numbers using certain binary trees. Many results are extended to an arbitrary Weyl group.

研究の動機と目的

• 多変数多項式を用いた、permutohedra や関連多面体の体積および格子点数を統一的に計算する枠組みを構築すること。
• 超単体の混合体積から生じる混合オイラー数を通じて、オイラー数およびカタラン数を一般化すること。
• 型 A 根系からの結果を、一般のウェイル群、特に素晴らしきコンパクト化から得られる一般化アソシアヘドロンへと拡張すること。
• 格子点数を保存する一般化 permutohedra 間の双対性を確立すること。
• ケイリーの技法および Ehrhart 理論を用いて、根多面体およびその三角形分割を関連付ける一般化 permutohedra と結びつけること。

提案手法

• Brion の公式を適用し、体積を頂点ごとの和として表現することで、置換の降下集合を含む式を得る。
• 座標単体の重み付きミンコフスキー和として permutohedra を表現し、部分集合のネストされた族を用いて一般化 permutohedra へと一般化する。
• 超単体の混合体積に関する Bernstein の定理を用いて、一般化 permutohedra の体積および Ehrhart 多項式を計算する。
• 一般化 permutohedra の体積多項式における係数として混合オイラー数を導入し、重み付き2分木による組合せ的解釈を与える。
• ケイリーの技法を用いて、原点と正根の凸包である根多面体の体積を、関連する一般化 permutohedra の格子点数に関連付ける。
• Todd 演算子の公式を用いて、Ehrhart 多項式と体積多項式を結びつける。特に、変数 $ z_i $ における微分作用素を通じて、Delzant 多面体に対して適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 permutohedra の体積および Ehrhart 多項式は、組合せ的解釈を持つ多変数多項式としてどのように表現できるか？
• RQ2 一般化 permutohedra の体積多項式の係数の組合せ的意味は何か？ また、これらはオイラー数およびカタラン数をどのように一般化するか？
• RQ3 超単体の混合体積と一般化 permutohedra の体積の関係は何か？ そして得られる混合オイラー数の意義は何か？
• RQ4 格子点数を保存する一般化 permutohedra 間の双対性は何か？ また、根多面体の三角形分割とどのように関係するか？
• RQ5 ケイリーの技法および Ehrhart 理論を用いて、根多面体と一般化 permutohedra およびその格子点数をどのように結びつけることができるか？

主な発見

• 正則 permutohedron $ P_n(n, n-1, \dots, 1) $ の体積は $ n^{n-2} $ に等しく、これは $ n $ 個の頂点を持つラベル付き木の数に一致する。
• 正則 permutohedron $ P_n(n, n-1, \dots, 1) $ の格子点数は、$ n $ 個のラベル付き頂点を持つ森林の数に等しい。
• 超単体 $ \Delta_{k,n} $ の体積は、オイラー数 $ A(n-1, k-1) $ を $ (n-1)! $ で割ったものに等しく、ラプラスの古典的結果を裏付ける。
• 一般化 permutohedra の体積多項式における係数として定義される混合オイラー数は、オイラー数、カタラン数、二項係数、および $ (n+1)^{n-1} $ を一般化する。
• 一般化 permutohedra の Ehrhart 多項式は、体積多項式の通常の単項式のべきを上昇階乗に置き換えることで得られる。
• Delzant 多面体に対しては、Ehrhart 多項式が体積多項式に演算子 $ \prod_{i=1}^N \mathrm{Todd}\left(\frac{\partial}{\partial z_i}\right) $ を作用させることで得られる。