[論文レビュー] Perron's method for viscosity solutions of semilinear path dependent PDEs

Zhenjie Ren|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Perronの方法を用いて、半線形パス依存型PDEの粘性解の存在を確立し、粘性 subsolution の上界が粘性解であることを示している。また、下半連続な粘性解のための新しい正則化技術を導入し、比較原理を証明することで、非線形期待値下での最適停止問題に対する新しい、簡潔な証明が可能になった。

ABSTRACT

This paper proves the existence of viscosity solutions of path dependent semilinear PDEs via Perron's method, i.e. via showing that the supremum of viscosity subsolutions is a viscosity solution. We use the notion of viscosity solutions introduced by Ekren, Keller, Touzi and Zhang, in whose work all smooth processes which are tangent in mean are considered as test functions. We also provide a comparison result for semicontinuous viscosity solutions, by using a regularization technique. As an interesting byproduct, we give a new short proof for the optimal stopping problem with semicontinuous obstacles.

研究の動機と目的

• 後向きSDEsではなくPDEに基づく手法を用いて、半線形パス依存型PDEの粘性解の存在を確立すること。
• Perronの方法に不可欠な、下半連続な粘性解に対する比較原理を拡張すること。
• 正則化が粘性 subsolution 性質を保ちつつ関数を連続にすることを可能にする、新しい正則化技術を開発すること。
• 非線形期待値下での下半連続な障害関数を伴う最適停止問題に対して、短く、自己完結的な証明を提供すること。
• 今後の完全非線形パス依存型PDEの解析の基盤を築くために、新しい正則化アプローチを導入すること。

提案手法

• すべての粘性 subsolution の点ごとの上界をとることで、候補解を構成するPerronの方法を適用する。
• パスに沿った後向き距離に基づく新しい正則化技術を導入し、下半連続な粘性 subsolution を連続なものに滑らかにする。
• 正則化が粘性 subsolution 性質を保ち、元の関数に収束することを保証する。
• Skorokhod分解の最小条件を用いて、下半連続な障害関数を伴う最適停止問題の結果に対する、新しい簡潔な証明を導出する。
• 正則化を用いて、上半連続な粘性 subsolution と下半連続な粘性 supersolution の間の比較結果を確立する。
• [9]で導入された、滑らかで平均において接するテスト関数を用いた粘性解の定義に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Perronの方法は、半線形パス依存型PDEの粘性解を構成するために効果的に適用可能か？
• RQ2 パス依存設定において、下半連続な粘性解に対して比較原理が成り立つか？
• RQ3 粘性 subsolution 性質を保ちつつ関数を連続化する正則化技術を構築可能か？
• RQ4 非線形期待値下で、下半連続な障害関数を伴う最適停止問題は、PDE手法によって解けるか？
• RQ5 開発された正則化技術は、パス依存型PDEの完全非線形ケースに拡張可能か？

主な発見

• すべての粘性 subsolution の上界が粘性解であることが示され、パス依存設定におけるPerronの方法による存在証明が確立された。
• パスに沿った後向き距離に基づく新しい正則化技術は、粘性 subsolution 性質を保ち、連続性と収束を保証する。
• 提案された正則化を用いて、下半連続な粘性解に対する比較原理が証明され、Perronの方法の適用が可能になった。
• 非線形期待値下での下半連続な障害関数を伴う最適停止問題に対して、Skorokhod分解の最小条件を用いた新しい、簡潔な証明が提供された。
• 正則化技術が与えられた非線形期待値下で連続的かつ安定的であることが示され、到達時間の期待値を用いて収束が確立された。
• 特に、SDEが利用できない完全非線形ケースにおいて、後向きSDEとは対照的に、PDEに基づく代替手法としての価値が示された。