[論文レビュー] Persistence, coexistence and extinction in two species chemotaxis models on bounded heterogeneous environments

Tahir Bachar Issa, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、空間的・時間的に不均一で変動するロジスティック項を有する2種の化学走性系において、グローバル存在、有界性、持続可能性、共存、絶滅ダイナミクスを確立する。新規の比較原理とライプニッツ型解析を用いて、化学走性がロジスティック減衰に比べて弱い条件下では、両種が持続的かつ共存するか、あるいは一方の種が絶滅し他方がその耐容容量に達することを証明した。これは、環境の不均一性を考慮した化学走性設定への古典的競争理論の拡張を示している。

ABSTRACT

In this paper, we consider a two species chemotaxis system of parabolic-parabolic-elliptic type with Lotka-Volterra type competition terms in heterogeneous media. We first find various conditions on the parameters which guarantee the global existence and boundedness of classical solutions with nonnegative initial functions. Next, we find further conditions on the parameters which establish the persistence of the two species. Then, under the same set of conditions for the persistence of two species, we prove the existence of coexistence states. Finally we prove the extinction phenomena in the sense that one of the species dies out asymptotically and the other reaches its carrying capacity as time goes to infinity. The persistence in general two species chemotaxis systems is studied for the first time. Several important techniques are developed to study the persistence and coexistence of the two species chemotaxis systems. Many existing results on the persistence, coexistence, and extinction on two species competition systems without chemotaxis are recovered.

研究の動機と目的

• 空間的・時間的に不均一な環境を有する化学走性系における2種の競合する種の長期的ダイナミクス（持続可能性、共存、絶滅）を分析すること。
• 共存の古典的理論を、共通の化学的シグナルへの化学走性移動を含む設定に拡張すること。
• 古典的解のグローバル存在および有界性を保証するモデルパラメータに関する十分条件を確立すること。
• 持続可能性条件の下で共存状態の存在を証明し、一方の種が漸近的に絶滅する状況を特徴づけること。

提案手法

• 空間的・時間的に不均一な係数を有する放物型-放物型-楕円型化学走性系に特化した新規な比較原理を開発した。
• 解の成長を制御し有界性を保証するために、ライプニッツ型汎関数とエネルギー推定を適用した。
• 時間的・空間的依存係数の下界および上界の推定を用いて、持続可能性の基準を導出した。
• 持続可能性条件の下でシュレーファーの不動点定理を用いて共存状態の存在を確立した。
• 漸近的解析と収束議論を用いて、長期的極限における絶滅を証明した。
• 楕円型比較原理を用いて、解を定常状態近似と比較し、長期的挙動の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的・時間的に不均一で変動するロジスティック項を有する2種の化学走性系において、両種が持続可能な条件は何か？
• RQ2 このような系において共存状態が存在する条件は何か？その必要十分条件は何か？
• RQ3 一方の種が絶滅し、他方がその耐容容量に達するような状況は生じ得るか？このような状況が生じるパラメータ領域は何か？
• RQ4 化学走性は、非化学走性モデルと比較して、競争の結果にどのように影響を与えるか？
• RQ5 環境の不均一性は、持続可能性または絶滅の結果を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 化学走性効果がロジスティック減衰に比べて十分に小さい場合、すなわち $ \chi_i \ll d_3 $ かつ $ a_{1,\inf} > \chi_1 k / d_3 $、$ b_{2,\inf} > \chi_2 l / d_3 $ のとき、古典的解のグローバル存在および有界性が保証される。
• 両種の持続可能性は、固有成長率が競争および化学走性ドリフトの総合的効果を上回る条件のもとで確立される。特に $ b_{0,\inf}(a_{1,\inf} - \chi_1 k / d_3) > (b_{1,\sup} - k\chi_2/d_3)_+ a_{0,\sup} + \text{補正項} $ のときが該当する。
• 共存状態は、同じ持続可能性条件の下で、定常状態系に不動点法を適用することで証明される。
• 一方の種が競合に劣位に置かれる場合、絶滅が生じる：$ u \to 0 $ ならば $ v \to v^* $、すなわち種 $ v $ の耐容容量に収束する。このときの条件は $ b_{0,\inf}(b_{2,\inf} - \chi_2 l / d_3) > \text{ } a_{0,\sup} \text{ を含む主要項} $ である。
• 化学走性がない場合（$ \chi_1 = \chi_2 = 0 $）には、古典的2種競争理論の結果（持続可能性、共存、絶滅）が回復され、従来の理論と整合性が確認される。
• 解析から、化学走性は共存を不安定化させる可能性があるが、化学走性感受性が弱い場合には、非化学走性モデルと同一の長期的ダイナミクスを維持することが判明した。