[論文レビュー] Persistence of Excitation in Reproducing Kernel Hilbert Spaces, Positive Limit Sets, and Smooth Manifolds

Andrew J. Kurdila, Jia Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、再現核ヒルベルト空間（RKH）における持続的励起（PE）集合が、RKH空間に豊富なカットオフ関数の族を含む場合、連続な半フローの正の極限集合の部分集合であることを確立する。また、PE条件が、不確実なODEのRKH空間埋め込みにおける適応的関数推定の収束を保証することを証明する。特に、正の極限集合が滑らかな多様体である場合、Sobolev-Maternカーネルなどの外在的カーネルを多様体に制限することで、そのような収束を実現する。

ABSTRACT

This paper studies the relationship between the positive limit sets of continuous semiflows and the newly introduced definition of persistently excited (PE) sets and associated subspaces of reproducing kernel Hilbert (RKH) spaces. It is shown that if the RKH space contains a rich collection of cut-off functions, persistently excited sets are contained as subsets of the positive limit set of the semiflow. The paper demonstrates how the new PE condition can be used to guarantee convergence of function estimates in the RKH space embedding method for adaptive estimation. In particular, the paper is applied to uncertain ODE systems with positive limit sets given by certain types of smooth manifolds, and it establishes convergence of adaptive function estimates over the manifolds.

研究の動機と目的

• 半フローにおける持続的励起（PE）集合と正の極限集合の関係を明確化すること。
• 不確実なODEのRKH空間埋め込みにおける適応的関数推定の収束の十分条件を提供すること。
• 正の極限集合が滑らかな多様体である場合に、RKH空間とカーネルの選択の実用的手段を構築すること。
• 有限次元近似において正の極限集合上またはその近傍に中心を持つ径間基底関数を用いることの正当化。
• RKH埋め込み法の実現可能な実装における基底関数の選択の理論的基盤を確立すること。

提案手法

• RKH空間における持続的励起（PE）集合の新しい定義を導入し、それを半フローの正の極限集合に関連付ける。
• 再現核ヒルベルト空間（RKH）の理論とトレース作用素を用いて、埋め込み空間からのカーネルの制限によって滑らかな多様体上でのRKH空間を定義する。
• R^d 上のSobolev-Maternカーネル（r > d/2）を用いてRKH空間を構築し、それをm次元のコンpakトな部分多様体Mに制限する。
• 制限されたRKH空間R_M(H_X)が、関数の滑らかさを正確に特徴付けるため、Sobolev空間W^{r-(d-m)/2,2}(M)に同型であることを確立する。
• 関数の正則性を特徴付けるために、トレース作用素T: W^{r,2}(R^d) → W^{r-(d-m)/2,2}(M)を用いる。
• 前向き軌道Γ⁺(x₀)が制限されたRKH空間R_M(H_X)を持続的に励起するならば、正の極限集合ω⁺(x₀)は多様体Mに等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、持続的励起集合が半フローの正の極限集合に含まれるか？
• RQ2 滑らかな多様体上でのRKH空間をどのように構築すれば、不確実なODE系における適応的関数推定を可能にするか？
• RQ3 どのようなカーネル構造が、PE解析に必要な豊富なカットオフ関数の族を含むRKH空間を保証するか？
• RQ4 RKH空間におけるPE条件が、無限次元埋め込み空間における関数推定の収束を保証できるか？
• RQ5 カーネルの選択（例：Sobolev-Matern）が、埋め込み多様体上での関数の正則性と近似特性にどのように影響するか？

主な発見

• RKH空間に豊富なカットオフ関数の族が含まれる限り、持続的励起集合は正の極限集合ω⁺(x₀)に含まれる。
• 前向き軌道Γ⁺(x₀)が制限されたRKH空間R_M(H_X)を持続的に励起するならば、正の極限集合ω⁺(x₀)は多様体Mに等しい。
• 制限されたRKH空間R_M(H_X)は、Sobolev空間W^{r-(d-m)/2,2}(M)に同型であり、多様体M上での関数の滑らかさを明確に特徴づける。
• r > d/2 を満たすR^d 上のSobolev-Maternカーネルは、滑らかさがr - (d-m)/2 の関数を、滑らかな多様体Mに制限した場合に得られるRKH空間を生成する。
• 外在的アプローチ（カーネルの制限によるRKH空間定義）は、正の極限集合が滑らかな多様体である場合の適応的推定に適している。
• 理論的枠組みにより、RKH埋め込み法の有限次元近似において正の極限集合上またはその近傍に中心を持つ径間基底関数を用いることが正当化される。