[論文レビュー] Persistence of laminations

Pierre Berger|ArXiv.org|Jul 30, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$C^r$-摂動の下で通常双曲的ラミネーションの持続性を、現代的で一般化された証明により提示する。古典的なHirsch-Pugh-Shub定理を自己準同型、非コンパクトラミネーション、および複素解析的設定へと拡張する。複素構造の変形理論と錐場の構成を用いて、$C^r$-持続的ラミネーションおよびホロモーフィック摂動の下でのホロモーフィック族の複素ラミネーションの存在を確立し、Hénon写像やファイバー付きホロモーフィック力学系への応用を含む。

ABSTRACT

We present a modern proof of some extensions of the celebrated Hirsch-Pugh-Shub theorem on persistence of normally hyperbolic compact laminations. Our extensions consist of allowing the dynamics to be an endomorphism, of considering the complex analytic case and of allowing the laminations to be non compact. To study the analytic case, we use the formalism of deformations of complex structures. We present various persistent complex laminations which appear in dynamics of several complex variables: Henon maps, fibered holomorphic maps... In order to proof the persistence theorems, we construct a laminar structure on the stable and unstable of the normally hyperbolic laminations.

研究の動機と目的

• 通常双曲的ラミネーションの古典的Hirsch-Pugh-Shub $C^r$-持続定理を、微分同相でない、特異な自己準同型への拡張すること。
• ラミネーションの閉包を保存するダイナミクスの引き戻しを要件として、非コンパクトラミネーションへの持続結果の一般化。
• 複素構造の変形理論を用いて、自己準同型のホロモーフィック1パラメータ族の下での複素ラミネーションの持続性を確立すること。
• 錐場とホロモーフィックリフトを用いて、通常双曲的ラミネーションの安定・不安定集合に不変ラミネーション構造を構成すること。
• 持続的ラミネーションが、全空間が自明な積バンドルでない場合でさえ、複素解析的構造を引き継ぐことを証明すること。

提案手法

• 接バンドルの引き戻しに錐場を用いて、葉の接空間に対して一様な収縮・拡張を保証する安定・不安定方向を定義する。
• グラスマンニアンバンドルにおける局所座標と$C^r$-移行写像を用いて、法方向の引き戻しバンドル上に$C^r$-ラミネーション構造を構成する。
• 複素パラメータ空間上のホロモーフィック族の複素ラミネーションを構成するために、複素構造の変形理論を応用する。
• ダイナミクスにおける繰り返し接空間の像の交わりを分析することで、ラミネーションの接空間の$J$-不変性を証明する。
• 引き戻し写像$f^*$を用いて、ラミネーション自体にダイナミクスを定義し、プレーク拡張性と摂動とへの整合性を保証する。
• 補題5.2による複素構造の一意性を活用し、持ち上げられたラミネーションがホロモーフィック埋め込みであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非微分同相な自己準同型に対しても、通常双曲的ラミネーションの$C^r$-持続性を拡張できるか？
• RQ2 引き戻し写像がラミネーションの閉包を保存する場合、非コンパクトラミネーションに対しても持続結果が成り立つか？
• RQ3 HPS定理をホロモーフィック設定に一般化でき、ホロモーフィック摂動の下で持続的複素ラミネーション族が存在することを保証できるか？
• RQ4 全空間上の持続的複素ラミネーション構造が、積構造$\mathcal{L} \times B_0$と同型になる条件は何か？
• RQ5 法バンドル上の$C^r$-滑らかなラミネーション構造をどのように構成すれば、$C^r$-持続性を保証できるか？

主な発見

• 定理0.1は、非一対一写像を許すコンパクトラミネーション上の$r$-通常拡張自己準同型の$C^r$-持続性を確立する。
• 定理0.2は、双射な引き戻しを持つ$r$-通常双曲的自己準同型への持続性を拡張し、摂動の下でも$C^r$-構造が保たれることを示す。
• 定理0.3は、複素パラメータ空間$B_0$上にホロモーフィック族$(\mathcal{L}_t)$が存在し、自己準同型のホロモーフィック摂動に対して不変であることを証明する。
• 例5.5で示されるように、持続的複素ラミネーションは自明な積構造$\mathcal{L} \times B_0$から来ないが、十分な条件下ではそのような積構造が存在する（命題5.3）。
• ダイナミクスにおける繰り返し接空間の像の交わりを分析することで、持続的ラミネーションの接空間が$J$-不変であることが示される。
• 錐場とグラスマンニアンへの$C^r$-リフトを用いた法バンドル上のラミネーション構造の構成により、全空間上に明確に定義された$C^r$-ラミネーションの存在が保証される。