[論文レビュー] Persistence under Weak Disorder of AC Spectra of Quasi-Periodic Schroedinger operators on Trees Graphs

Michael Aizenman, Simone Warzel|ArXiv.org|Apr 29, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、弱いランダムな不規則性の下で、1次元の準周期的シュレーディンガー作用素の径方向木への拡張における絶対連続スペクトル（ACスペクトル）の安定性を確立する。ブロイ・フロケ状態が非共鳴的準運動量を持つことを利用し、リャプノフ指数が消える場合およびシフト作用素のスペクトルに関連する共鳴値を避ける準運動量を持つ場合に、ACスペクトルが維持されることを証明する。

ABSTRACT

We consider radial tree extensions of one-dimensional quasi-periodic Schroedinger operators and establish the stability of their absolutely continuous spectra under weak but extensive perturbations by a random potential. The sufficiency criterion for that is the existence of Bloch-Floquet states for the one dimensional operator corresponding to the radial problem.

研究の動機と目的

• 径方向木への拡張が施された1次元の準周期的シュレーディンガー作用素の絶対連続スペクトル（ACスペクトル）が、弱いランダム不規則性の下で安定するかを調査すること。
• 広範な弱い確率的ポテンシャルが導入された場合に、ACスペクトルが安定する条件を同定すること。
• 射影的シュレーディンガーコサイクル方程式の解の一意性とACスペクトルの維持との間の関係を確立すること。
• 非共鳴的ブロイ・フロケ状態の存在が、弱い不規則性下でのスペクトル安定性を保証することを示すこと。
• シュレーディンガーコサイクルの可約性と共鳴的準運動量の不在に基づいた、スペクトル安定性の基準を提示すること。

提案手法

• 根からの距離に依存するポテンシャルを持つ $\ell^2(\mathbb{T})$ 上で作用する径方向ハミルトニアン ${\widehat{H}}(\theta)$ を用いて、1次元の準周期的シュレーディンガー作用素の径方向木への拡張を分析する。
• 各頂点に独立同分布（iid）のランダムポテンシャル $\lambda \omega_x$ を導入することで弱い不規則性を導入し、摂動作用素 ${\widehat{H}}_\lambda(\theta, \omega)$ を構成する。
• メビウス変換 $\mathcal{A}(E,\theta)$ を用いた射影的シュレーディンガーコサイクル形式を適用し、$\gamma \mapsto U(\theta) - E - 1/\gamma$ を定義する。
• 解 $\Gamma(\theta) \in \mathbb{C}^+$ のグラフがコサイクル作用の下で不変であるという条件を、ACスペクトル安定性の基準とする。
• このような $\mathbb{C}^+$ 値解の一意性がスペクトル安定性を示し、コープマン作用素のスペクトルと固有関数解析に依存する。
• 非共鳴的準運動量 $\pm k$ を持つ共役ペアのブロイ・フロケ状態の存在が、コサイクル方程式に対する $\mathbb{C}^+$ 値解の一意性を保証することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の準周期的シュレーディンガー作用素の径方向木への拡張における、絶対連続スペクトル（ACスペクトル）が弱いランダム不規則性の下でどの条件下で安定するか。
• RQ2 ACスペクトルの安定性が、$\mathbb{C}^+$ における射影的シュレーディンガーコサイクル方程式の解の存在および一意性とどのように関係するか。
• RQ3 非共鳴的準運動量を持つブロイ・フロケ状態が、弱い不規則性下でのACスペクトルの維持に果たす役割は何か。
• RQ4 シュレーディンガーコサイクルが定数に可約であるのと、射影的コサイクル方程式の $\mathbb{C}^+$ 値解の一意性との間にはどのような関連があるか。
• RQ5 積分密度 $n(E)$ が、ACスペクトルに属するエネルギーに対して、$m \cdot \alpha \mod \mathbb{Z}$ の共鳴値をどの程度避けるか。

主な発見

• 径方向木への拡張 ${\widehat{H}}(\theta)$ の絶対連続スペクトルは、1次元の準周期的シュレーディンガー作用素 $H(\theta)$ が準運動量 $\pm k$ を持つブロイ・フロケ状態のペアを有する場合に、弱い不規則性下でも維持される。ここで $|k|/\pi$ が集合 $\{ (m \cdot \alpha) \mod \mathbb{Z} \, : \, m \in \mathbb{Z}^\nu \}$ に属さないことが条件である。
• $\mathbb{C}^+$ 値解 $\Gamma(\theta)$ に対する射影的シュレーディンガーコサイクル方程式 $\mathcal{A}(E,\theta)\Gamma(\theta) = \Gamma(S\theta)$ の一意性は、弱い不規則性下でのACスペクトルの安定性と同値である。
• 非共鳴的準運動量の条件により、コープマン作用素 $\mathcal{S}$ の固有関数として $\exp(\pm 2i|k|)$ を固有値にもつ非ゼロ固有関数が存在しえず、これは $\mathcal{S}$ のスペクトルの外にあるため、一意性が強制される。
• ディオファントス的周波数ベクトル $\alpha$ と滑らかな $U$ を持つ準周期的ポテンシャルに対して、ほとんど至るところの $E \in \Sigma_{\rm ac}$ に対してブロイ・フロケ状態が存在することが保証され、弱い不規則性下でのスペクトル安定性が保証される。
• $n(E) \equiv m \cdot \alpha \mod \mathbb{Z}$ を満たすエネルギー $E$ の集合は可算であり、$\Sigma_{\rm ac}$ は正のリーマン測度を持つため、ほとんど至るところの $E \in \Sigma_{\rm ac}$ はこの共鳴条件を避ける。
• ${\widehat{H}}(\theta)$ のACスペクトルは弱い不規則性下でも安定であり、そのスペクトルは $\sigma_{\rm ac}(\widehat{H}(\theta)) = \sqrt{K} \, \Sigma_{\rm ac}$ を満たす。ここで $\Sigma_{\rm ac}$ は $\{ E : \gamma(E) = 0 \}$ の本質的閉包である。