[論文レビュー] Persistent Markov partitions for rational maps

Mary Rees|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有理写像の非双曲的ケースを含む、恒久的なマルコフ分割を、リーマン球面上の有限グラフを同倫的に変形させることで構成する。その変形により、反復写像の前像へ写像される。主な貢献は、λ-lemmおよび正則運動の技法を用いて、パラメータ空間における位相的恒続性を保証し、このような分割を有する有理写像の集合が開集合であり、単一の双曲的成分に限定されないことを示したことである。

ABSTRACT

A construction is given of Markov partitions for some rational maps, which persist over regions of parameter space, not confined to single hyperbolic components. The set on which the Markov partition exists, and its boundary, are analysed.

研究の動機と目的

• パラメータ空間の開領域にわたって、非双曲的ケースを含む有理写像の一般化されたマルコフ分割の構成法を開発すること。
• このような分割が双曲的成分に限らず、包合的写像を含む近傍においても存在することを示すこと。
• 分割が存在するパラメータ集合の位相的構造、特に境界および連結成分を分析すること。
• 正則運動およびネストされた円環を用いて、動的平面における分割と、それに対応するパラメータ空間における分割とを関連させること。
• 等長写像およびヨコツのパズルに関する既知の結果を、非等長的・非双曲的有理写像へ、同倫的変形および距離制御を用いて拡張すること。

提案手法

• 周期的ファトウ成分の集合 $ F_0 $ と包合的点を含む集合 $ Z $ を除いた $ \overline{\mathbb{C}} \setminus (F_0 \cup Z) $ に、3価で局所的に $ C^1 $ のグラフ $ G_0 $ を構成する。
• $ \lambda $-lemm を用いて、$ \overline{\mathbb{C}} $ の同倫を構成し、$ G_0 $ を新しいグラフ $ G' $ へ写像する。このとき、十分大きな $ N $ に対して $ G' \subset f^{-N}(G') $ となるようにする。
• 同倫を恒等写像から $ \varepsilon $-近傍に保ち、$ F_0 \cup Z $ を固定し、有限個のファトウ成分にのみ台を持つようにする。
• $ G $ を $ \bigcup_{i=0}^{N-1} f^{-i}(G') $ の $ \varepsilon' $-近傍内に位置するグラフとして定義し、位相的構造を保ちつつ $ G \subset f^{-1}(G) $ を満たすようにする。
• マルコフ分割 $ \mathcal{P} $ を、$ \overline{\mathbb{C}} \setminus G $ の連結成分の閉包として定義し、各成分が高々1つの周期的ファトウ成分を含むようにする。
• パラメータ空間に正則運動の技法を適用し、分割を有する写像の集合が開であり、各 $ V(\underline{Q}, g_0) $ がシングルトンであることを示し、パラメータ依存分割の一意性と連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ空間の開集合にわたって、包合的点が存在する場合でも、有理写像のマルコフ分割を、恒久的かつ一貫して構成可能か？
• RQ2 固定されたマルコフ分割を有する有理写像の集合は、全パラメータ空間において開集合であり、また双曲的成分を越えて広がるか？
• RQ3 マルコフ分割を有する写像の集合の境界はどのように振る舞い、どのような位相的構造を持つか？
• RQ4 マルコフグラフによる球面の動的分割を、パラメータ空間への対応する分割へ上昇させることは可能か？
• RQ5 λ-lemm は、パラメータ族にわたるグラフおよびその誘導される分割の同倫的恒続性を保証するために、どのように機能するか？

主な発見

• 本手法により構成されたマルコフ分割を有する有理写像の集合は、全有理写像空間において開集合である。
• この開集合が少なくとも1つの包合的周期的点を持つ写像を含む場合、それは単一の双曲的成分に含まれない。
• 同倫により $ G_0 $ を $ G' $ へ写像する際、恒等写像から $ \varepsilon $-近傍に保ち、$ F_0 \cup Z $ を固定し、有限個のファトウ成分にのみ台を持つようにできる。
• 得られるグラフ $ G $ は、$ \bigcup_{i=0}^{N-1} f^{-i}(G') $ の $ \varepsilon' $-近傍内にあり、分割の位相的構造が保たれる。
• 各 $ \underline{Q} \in \mathcal{Q} $ に対して、集合 $ V(\underline{Q}, g_0) $ はシングルトンであるため、パラメータ依存分割の一意性と連続性が保証される。
• $ \overline{V(\underline{Q}, g_0)} $ の補集合が $ V(G(g_0), g_0) $ 内にちょうど1つの成分を持つため、パラメータ空間における分割の位相的一致性が保証される。