[論文レビュー] Persistent random walks, variable length Markov chains and piecewise deterministic Markov processes

Peggy Cénac, Brigitte Chauvin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Diffusion and Search Dynamics参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、無限記憶を有する可変長マルコフ連鎖（VLMC）に従う増分を持つ一般化された持続的ランダムウォークを導入し、非マルコフ的ダイナミクスをモデル化する。適切なスケーリングのもとで、関連する連続過程は、区分的線形経路を有する区分的決定的マルコフ過程（PDMP）に収束する。これは、有限記憶モデルを超えて統合的トランジットノイズへの収束を拡張するものである。

ABSTRACT

A classical random walk $(S_t, t\\in\\mathbb{N})$ is defined by $S_t:=\\displaystyle\\sum_{n=0}^t X_n$, where $(X_n)$ are i.i.d. When the increments $(X_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$ are a one-order Markov chain, a short memory is introduced in the dynamics of $(S_t)$. This so-called "persistent" random walk is nolonger Markovian and, under suitable conditions, the rescaled process converges towards the integrated telegraph noise (ITN) as the time-scale and space-scale parameters tend to zero (see Herrmann and Vallois, 2010; Tapiero-Vallois, Tapiero-Vallois2}). The ITN process is effectively non-Markovian too. The aim is to consider persistent random walks $(S_t)$ whose increments are Markov chains with variable order which can be infinite. This variable memory is enlighted by a one-to-one correspondence between $(X_n)$ and a suitable Variable Length Markov Chain (VLMC), since for a VLMC the dependency from the past can be unbounded. The key fact is to consider the non Markovian letter process $(X_n)$ as the margin of a couple $(X_n,M_n)_{n\\ge 0}$ where $(M_n)_{n\\ge 0}$ stands for the memory of the process $(X_n)$. We prove that, under a suitable rescaling, $(S_n,X_n,M_n)$ converges in distribution towards a time continuous process $(S^0(t),X(t),M(t))$. The process $(S^0(t))$ is a semi-Markov and Piecewise Deterministic Markov Process whose paths are piecewise linear.

研究の動機と目的

• 有限次元マルコフ連鎖を超えて、可変長マルコフ連鎖（VLMC）を用いて無限記憶を有する持続的ランダムウォークを拡張すること。
• 非マルコフ的増分過程と記憶過程（M_n）との間の一対一対応を確立し、それらの共同スケーリングを可能にすること。
• スケーリングされた三重組 (S_n, X_n, M_n) が、区分的線形サンプルパスを有する連続時間PDMP (S^0(t), X(t), M(t)) に弱収束することを証明すること。
• 無限コンテキストツリー上のVLMCの不変測度を特徴づけ、複数の定常分布を含む場合を含むこと。

提案手法

• 増分過程 (X_n) を、単純な無限コームや二重無限コームなどの無限のリーフを持つコンテキストツリー上で定義されたVLMC (U_n) の周辺分布としてモデル化する。
• 各 X_n の関連する過去コンテキストを追跡する記憶過程 (M_n) を導入し、無限記憶を有する非マルコフ的依存を可能にする。
• S_n を X_n の累積和とする関連過程 (S_n, X_n, M_n) を定義し、時空の共同スケーリングを施して連続極限を得る。
• コンテキストツリー構造を用いて、コンテキスト別ベルヌーイ分布（q_c）による遷移確率を定義し、VLMCが収束条件のもとで適切に定義され、定常的であることを保証する。
• 有限次元分布の収束とモーメントバウンドによるトゥイニネスの確認により、スケーリングされた過程の弱収束を証明する。
• 無限級数（Θ₁, Θ₂）を用いてパス空間上の定常測度を特徴づけ、収束条件のもとで π_a, π_{a,b} の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限記憶を有する持続的ランダムウォークは、VLMCを用いて構築可能であり、連続時間過程に収束することが示せるか？
• RQ2 コンテキストツリーおよび遷移確率にどのような条件を課すと、VLMCの定常測度が存在するか？
• RQ3 三重組 (S_n, X_n, M_n) の共同スケーリングが、極限で区分的決定的マルコフ過程（PDMP）をどのように導くか？
• RQ4 二重無限コームなどの無限コンテキストツリー上のVLMCの不変測度の構造はいかなるものか？
• RQ5 極限過程 (S^0(t), X(t), M(t)) が半マルコフ過程および区分的線形経路を有するPDMPの性質を保つための条件は何か？

主な発見

• スケーリングされた過程 (S_n, X_n, M_n) は、概収率で区分的線形経路を有するPDMP (S^0(t), X(t), M(t)) に分布収束する。
• 級数Θ₁とΘ₂が収束する場合、二パラメータ族の定常測度π_{a,b}が無限コーム上に存在し、π_{a,b}(0^∞) = a および π_{a,b}(1^∞) = b を満たす。
• 二重無限コームの場合、不変測度π_{a,b}は明示的に π_{a,b}(0) = (aΘ₂ + (1−b)Θ₁)/(Θ₁+Θ₂) および π_{a,b}(10) = (1−a−b)/(Θ₁+Θ₂) で与えられる。
• Θ₁とΘ₂が発散する場合、唯一の定常測度は無限パス 0^∞ および 1^∞ に集中し、π(10) = 0 である。
• q_{0^∞}(0) または q_{1^∞}(1) のいずれか一方が1に等しく、対応する級数が収束する場合、定常測度は一意であり、それぞれ 0^∞ または 1^∞ に台を持つ。
• 極限過程 (S^0(t), X(t), M(t)) は半マルコフ過程および区分的決定的マルコフ過程であり、有限記憶モデルを超えて統合的トランジットノイズを一般化する。