[論文レビュー] Persisting randomness in randomly growing discrete structures: graphs and search trees

Rudolf Grübel|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、離散的ポテンシャル理論とドーブ＝マーティンコンパクト化を用いた境界理論的手法を導入し、ランダムに成長する離散的構造（ランダムグラフや探索木など）における持続的ランダム性を検出・定量する。従来は分布収束しか知られていなかった構造的関数値（パス長やウィーナー指数など）について、ほとんど確実収束を確立した。これにより、組合せ的マルコフ連鎖上の確率過程における極限定理が強化された。

ABSTRACT

The successive discrete structures generated by a sequential algorithm from random input constitute a Markov chain that may exhibit long term dependence on its first few input values. Using examples from random graph theory and search algorithms we show how such persistence of randomness can be detected and quantified with techniques from discrete potential theory. We also show that this approach can be used to obtain strong limit theorems in cases where previously only distributional convergence was known.

研究の動機と目的

• ランダムに成長する離散的構造（ランダムグラフや探索木など）における長期的依存性を分析すること。
• 初期の入力がプロセスに無限に影響を与える「持続的ランダム性」を、マルコフ連鎖の境界理論を用いて検出・定量すること。
• パス長やウィーナー指数などの関数値について、分布収束からほとんど確実収束への収束結果の拡張を行うこと。
• 特定のモデルを超えて組合せ的マルコフ連鎖に適用可能な、離散的ポテンシャル理論に基づく一般枠組みを提供すること。
• ドーブ＝マーティンコンパクト化が、分布収束のみで達成可能だったものよりも強い収束結果を可能にすることを示すこと。

提案手法

• マルコフ連鎖の尾σ-代数を捉える状態空間の完備化を、ドーブ＝マーティンコンパクト化を用いて構成する。
• 収束を定義するため、マーティン核 K(x, y) = P(Xn = y | Xm = x) / P(Xn = y) を用いる。
• 調和関数と境界測度による積分表現を用いて、プロセスの極限分布を特徴付ける。
• 組合せ的マルコフ連鎖の時空性を活用し、極限がほとんど確実に尾σ-代数を生成することを保証する。
• バナッハ空間 C(∂V) 上の無限次元マルティンゲール（一様ノルムを備える）を用いて、関数値のほとんど確実収束を証明する。
• スティーンロード＝ワイエルシュトラスの定理とチホノフの定理を用いて、境界埋め込みのコンパクト性と連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムに成長する離散的構造における持続的ランダム性を、形式的に検出・定量することは可能か？
• RQ2 ドーブ＝マーティンコンパクト化を用いて、ランダムグラフや探索木の関数値に対するほとんど確実収束結果を導出できるか？
• RQ3 マルコフ連鎖の尾σ-代数とその状態空間完備化の境界との関係は何か？
• RQ4 従来は分布収束しか知られていなかった場合に、境界理論を用いて強い極限定理を確立できるか？
• RQ5 境界の構造は、ウィーナー指数やパス長などの関数値の漸近的挙動とどのように関係するか？

主な発見

• ドーブ＝マーティンコンパクト化により、プロセス Xn がほとんど確実に極限 X∞ に収束し、σ(X∞) = a.s. T(X)（尾σ-代数）となることが保証される。
• 二分探索木のケースでは、ウィーナー指数の分布収束が、ほとんど確実収束に向上され、ネインィンガー（2002）の結果を改善する。
• 極限 X∞ はほとんど確実に境界 ∂F 上に支持され、その分布は境界上の調和測度に対応する。
• 探索木のパス長およびウィーナー指数は、チェイニング不等式とモーメント推定を用いて明示的な評価を得た上で、ほとんど確実に収束する。
• 境界表現により、極限関数値がマルティンゲールの極限と境界項の和に分解可能であり、C(∂V)ノルムにおいてほとんど確実収束が成立する。
• 分岐ランダムウォークモデルにおいて、期待最大位置は O((4/3)^k) の割合で成長し、バナッハ空間上の連続関数の境界上でマルティンゲール収束を用いて、プロセスの極限への収束が確立される。