[論文レビュー] Perspectives on Balanced Sequences

Jos H. Weber, Kees A. Schouhamer Immink+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$q$-ary アルファベット上で極性バランス（PB）および電荷・極性バランス（CPB）コードを導入し、非二値列へのクラウスの二値バランス化手法の拡張を行う。PBおよびCPBコードの最大サイズと漸近的最小冗長度を導出し、すべてのバランス化タイプに対して効率的なクラウス風のエンコーダおよびデコーダを提案。長コードでは冗長度が理論的最小値のおおよそ2倍に抑えられる。

ABSTRACT

We examine and compare several different classes of "balanced" block codes over q-ary alphabets, namely symbol-balanced (SB) codes, charge-balanced (CB) codes, and polarity-balanced (PB) codes. Known results on the maximum size and asymptotic minimal redundancy of SB and CB codes are reviewed. We then determine the maximum size and asymptotic minimal redundancy of PB codes and of codes which are both CB and PB. We also propose efficient Knuth-like encoders and decoders for all these types of balanced codes.

研究の動機と目的

• $q$-ary アルファベット上での極性バランス（PB）コードの概念を形式化し、分析すること。これは、以前に研究がなされていなかった。
• PBおよび電荷・極性バランス（CPB）コードの最大サイズと漸近的最小冗長度を特定すること。これは、記号バランス（SB）および電荷バランス（CB）コードの既知の結果を拡張する。
• $q$-ary アルファベット上でのSB、CB、PB、CPBコードのための効率的なクラウス風の符号化および復号化アルゴリズムを開発すること。
• これらの構成の冗長度を理論的最小値と比較し、長コードでは2倍以内に収まることを示すこと。

提案手法

• モジュロ算術を用いた反復的記号周波数調整により、$q$-ary アルファベットへのクラウスの二値バランス化アルゴリズムの一般化を提案。
• PBコードの場合、モジュロ-$q$ 加算を用いた前缀の調整により、正と負の記号の数をバランスさせる二段階の反復的手順を用いる。
• CPBコードの場合、極性バランスを最初に、次に電荷バランスを、またはその逆に、インデックス選択と記号反転を用いて逐次バランス化するプロセスを適用。
• バランスインデックスを伝えるための前缀ベースの方式を採用。これにより、符号化操作の逆操作によって復号が可能になる。
• 有効なシーケンスの組み合わせ的数え上げと、ブロック長 $n$ が大きい場合の漸近的解析を用いて冗長度の境界を導出。
• 対称的アルファベット $\mathcal{A}_q = \{-q+1, -q+3, \dots, q-1\}$ の構造を用いて記号周波数とバランス条件を定義。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $n$ の $q$-ary シーケンスで、正と負の記号の数が等しい極性バランス（PB）シーケンスの最大数は何か？
• RQ2 PBコードの漸近的最小冗長度は何か？ また、SBおよびCBコードと比べてどうなるか？
• RQ3 クラウス風のアルゴリズムを $q$-ary アルファベット上でPBおよびCPBコードを効率的に構築するために一般化できるか？
• RQ4 PBおよびCPBコードの提案されたクラウス風構成の冗長度は、理論的最小値と比べてどの程度か？

主な発見

• 奇数 $q$ の場合、長さ $n$ の $q$-ary PBシーケンスの数は、$n$ が偶数のとき漸近的に $q^n / \sqrt{2\pi n}$ に等しい。偶数 $q$ の場合も同様の式が成り立つ。
• PBコードの漸近的最小冗長度は $\frac{1}{2}\log_2 n + \frac{1}{2}\log_2 \pi + \frac{1}{2}\log_2 q + O(1)$ であり、SBおよびCBコードと同形式だが定数が異なる。
• CPBコードの場合、最大サイズは約 $q^n / \sqrt{4\pi n}$、最小冗長度は $\frac{1}{2}\log_2 n + \frac{1}{2}\log_2 \pi + \frac{1}{2}\log_2 q + O(1)$ であり、PBコードと類似している。
• 提案されたPBおよびCPBコードのクラウス風エンコーダは、理論的最小値のおよそ2倍の冗長度を達成しており、二値の場合と整合的である。
• 提案された構成の冗長度は $p' = (q-1)\log_q(k+1) + 2\log_q(q!)$ で表され、$k = n/q$ である。これはブロック長 $n$ に対して対数的に増加する。
• 任意のデータシーケンスに対して、必要なバランス条件を満たすようなバランスインデックスが存在することを保証する。これは、クラウスの元々の存在証明を一般化する。