[論文レビュー] Perturbation by non-local operators

Zhen-Qing Chen, Jieming Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、有界で対称なカーネル $ b(x,z) $ によって駆動される非局所的摂動 $ \mathcal{S}^b $ を伴う非局所作用素 $ \mathcal{L}^b = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^b $ の基本解 $ q^b(t,x,y) $ の存在、一意性、および鋭い両側推定を確立する。主な結果は、$ b(x,z) $ にやや厳しい下界が存在する場合、$ q^b $ が正であり、連続的であり、強い Feller 性を有する保守的 Feller マルコフ過程を生成し、マルティングル問題を一意に解くことである。

ABSTRACT

Suppose that $d\ge 1$ and $0

研究の動機と目的

• 非対称な非局所的作用素 $ \mathcal{L}^b = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^b $（$ 0 < \beta < \alpha < 2 $）のクラスに対して、基本解 $ q^b(t,x,y) $ の存在と一意性を確立すること。
• 基本解 $ q^b(t,x,y) $ に対する鋭い両側推定を導出し、その挙動が摂動カーネル $ b(x,z) $ の構造に強く依存することを示すこと。
• $ q^b $ が一意に保守的 Feller マルコフ過程 $ X^b $ を定め、$ (\mathcal{L}^b, \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)) $ のマルティングル問題を解く強い Feller 性を有することを証明すること。
• $ b(x,z) $ が必ずしも小さいとは限らない場合に結果を拡張すること。スケーリングと摂動技法を用いて、$ \|b\|_\infty $ が小さい場合に還元すること。

提案手法

• 基本解 $ q^b(t,x,y) $ は、$ \alpha $-安定過程の遷移密度の摂動を用いた非局所的フェインマン＝カック半群のアプローチにより構成される。
• ジャンプ測度 $ J^b(x,y) $ を特徴付けるために Lévy システムの公式が用いられ、$ c_1|x-y|^{-(d+\alpha)} \leq J^b(x,y) \leq c_2|x-y|^{-(d+\alpha)} $ を満たすことが示される。
• 重要な技術的道具として、スケーリングにより小さい摂動領域に還元可能な切り捨て $ b_0(x,z) = b(x,z)\mathbf{1}_{\{|z| \leq 1\}} $ が用いられる。
• 比 $ J^b/J^{b_0} $ から導かれる乗法的関数 $ F $ を用いた非局所的フェインマン＝カック半群 $ T^{b,F}_t $ が導入され、密度 $ \widetilde{q}(t,x,y) $ が得られる。
• マルティングル問題の解の一意性は、生成作用素 $ \mathcal{L}^{b,F} $ を持つ半群 $ T^{b,F}_t $ が $ \mathcal{L}^b $ と一致し、$ \widetilde{q} $ が $ q^b $ と同じ半群を満たすことを示すことによって確立される。
• 鋭い推定は、安定遷移密度 $ p_0(t,x,y) $ との比較により得られ、$ t \in (0,1] $ に対して $ C_4 p_0(t,x,y) \leq q^b(t,x,y) \leq C_3 p_0(t,x,y) $ が成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的作用素 $ \mathcal{L}^b = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^b $ が正で連続な基本解を有するための $ b(x,z) $ に関する条件は何か？
• RQ2 基本解 $ q^b(t,x,y) $ に対する鋭い両側推定は、$ b(x,z) $ の構造にどのように依存するか。特に勾配型摂動と対比してどう異なるか？
• RQ3 $ \mathcal{L}^b $ のマルティングル問題は一意に解けるか。その解は強い Feller 性を有する保守的 Feller マルコフ過程を生成するか？
• RQ4 摂動カーネル $ b(x,z) $ とジャンプ強度 $ J^b(x,y) $ の関係は何か。この関係は遷移密度にどのように影響するか？

主な発見

• 条件 $ b(x,z) \geq -\frac{\mathcal{A}(d,-\alpha)}{\mathcal{A}(d,-\beta)} |z|^{\beta - \alpha} $ の下で、基本解 $ q^b(t,x,y) $ は存在し、$ (0,\infty) \times \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d $ 上で正であり、連続的である。
• $ q^b $ は一意に保守的 Feller マルコフ過程 $ X^b $ を定め、$ (\mathcal{L}^b, \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)) $ のマルティングル問題を解く強い Feller 性を有する。
• 鋭い両側推定が確立された：$ t \in (0,1] $ に対して $ C_4 p_0(t,x,y) \leq q^b(t,x,y) \leq C_3 p_0(t,x,y) $ が成り立ち、ここで $ p_0 $ は $ \alpha $-安定過程の遷移密度である。
• 推定値は $ b(x,z) $ の種類に応じて異なる挙動を示し、勾配型摂動とは著しく対照的である。これは Lévy システムと摂動技法を用いた比較によって導かれる。
• モデルには、$ Y $ と $ Z $ が独立な対称 $ \alpha $-および $ \beta $-安定過程である SDE $ dX_t = dY_t + c(X_{t-}) dZ_t $ が含まれ、このとき $ b(x,z) = |c(x)|^\beta $ であり、解は生成作用素 $ \mathcal{L}^b $ を持つ強マルコフ過程である。