[論文レビュー] Perturbation de la dynamique de difféomorphismes en topologie C^1 / Perturbation of the dynamics of diffeomorphisms in the C^1-topology

Sylvain Crovisier|ArXiv.org|Dec 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の微分同相写像の力学を制御・変更するための高度な摂動技法を $C^1$-位相において開発し、特に横断性、軌道接続、接空間力学に焦点を当てる。$C^1$-一般の微分同相写像が自明な中心化子を持つことを確立し、微分同相写像群における力学的挙動と代数的性質の深い関係を示す。

ABSTRACT

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur la dynamique de difféomorphismes de variétés compactes. Pour l'étude des propriétés génériques ou pour la construction d'exemples, il est souvent utile de savoir perturber un système. Ceci soulève généralement des problèmes délicats : une modification locale de la dynamique peut engendrer un changement brutal du comportement des orbites. En topologie C^1, nous proposons diverses techniques permettant de perturber tout en contrôlant la dynamique : mise en transversalité, connexion d'orbites, perturbation de la dynamique tangente, réalisation d'extensions... Nous en tirons diverses applications à la description de la dynamique des difféomorphismes C^1-génériques. This memoir deals with the dynamics of diffeomorphisms of compact manifolds. For the study of generic properties or for the construction of examples, it is often useful to be able to perturb a system. This generally leads to delicate problems: a local modification of the dynamic may cause a radical change in the behavior of the orbits. For the C^1 topology, we propose various techniques which allow to perturb while controlling the dynamic: setting in transversal position, connection of orbits, perturbation of the tangent dynamics,... We derive various applications to the description of the C^1-generic diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 微分同相写像の力学を制御的に変更できる強固な $C^1$-摂動技法を構築し、グローバルな位相的同相類を損なわないようにすること。
• 再帰性、双曲性、軌道接続を制御することで、$C^1$-一般の微分同相写像の構造を分析すること。
• $C^1$-一般の微分同相写像が自明な中心化子を持つことを確立し、力学的複雑性と代数的剛性を結びつけること。
• 擬軌道、鎖的転移性、非一様双曲性がグローバル力学に与える役割を調査すること。
• 接写像の力学および不変構造（例えば、foliation や通常双曲的部分多様体）の存在に及ぼす摂動の影響を検討すること。

提案手法

• Pughの $C^1$-閉じる補題および接続補題を用いて、軌道の閉じる操作や接続を実現する。
• 「ゴースト摂動」——非交差反復集合に台を持つ微分同相写像による局所的同相類——を用い、グローバルな同相類を変えずに接力学 $Df$ を変更する。
• 支配的分解の理論および一般化されたシャドーイング理論を応用し、非一様双曲性および鎖的双曲的クラスを分析する。
• 極限 $g$ に収束する $C^1$-微分同相写像列 $g_i$ を構成し、$g$ が元の $f$ と極限位相同相 $\varphi$ で同相化されることを保証する。これにより、位相的同相類は維持されつつ $Df$ の変更が可能になる。
• 位相的タワーと小台摂動を用いて、各変更が局所的力学にのみ影響し、グローバル構造を保存することを保証する。
• Mafin{\acute{e}}-Pujals-Sambarino 技法を応用し、極値のリャプノフ指数を分析し、準吸引子および鎖的再帰集合の双曲性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的同相類を保ったまま、$C^1$-微分同相写像の接力学を摂動的に変更することは可能か？
• RQ2 $C^1$-微分同相写像の自明な中心化子を持つ集合の構造は何か？ そして、一般の力学的挙動とどのように関係するか？
• RQ3 非一様双曲性の下で、擬軌道はどの程度接続可能またはシャドーイング可能か？
• RQ4 $C^1$-一般の微分同相写像が群 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 内で非自明な中心化子をもつのはどのような条件下か？
• RQ5 摂動は、不変ファイブレーションおよび通常双曲的部分多様体の存在性と正則性にどのように影響するか？

主な発見

• $C^1$-一般の微分同相写像はコンパクト多様体上で $\mathrm{Diff}^1(M)$ 内に自明な中心化子を持つ。これは、このような系が力学的に剛性であり、非自明な微分同相写像と可換にならないことを示唆する。
• ゴースト摂動により、$f$ の位相的同相類を保ちながら接写像 $Df$ を変更可能であり、グローバルな軌道構造を変えることなく力学的挙動を制御できる。
• 位相的タワーの存在により、非周期的点に対しては、すべての反復写像と交わる小さな近傍が存在することが保証され、効果的な摂動設計が可能になる。
• 非一様双曲性および支配的分解は $C^1$-摂動に対して安定であり、鎖的双曲的クラスは一般化されたシャドーイングおよびプレイト・ファミリーを用いて特徴付けられる。
• 特定の条件下で準吸引子および鎖的再帰集合が双曲的であることが証明され、その双曲性は一様ファイブレーションの非退化性と関連づけられる。
• $C^1$-微分同相写像の中心化子が自明であるのは、再帰性および双曲性の特定の条件を満たす場合に限る。特に、強い指定性または鎖的転移性を示す系において顕著である。