[論文レビュー] Perturbation determinants and trace formulas for singular perturbations

M. M. Malamud, Hagen Neidhardt|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界三つ組の枠組みを用いて、閉対称作用素の適切な拡張の対としての特異な摂動—具体的には、Kreinの摂動行列式およびトレース公式の理論を特異な摂動に拡張する。抽象的Weyl関数とほぼ可解な拡張の特性関数を用いて一般化された摂動行列式を導入し、自己共役、散乱的、その他の拡張の対についてトレース公式を導出する。散乱的系における新しい結果と微分作用素への応用を含む。

ABSTRACT

We use the boundary triplet approach to extend the classical concept of perturbation determinants to a more general setup. In particular, we examine the concept of perturbation determinants to pairs of proper extensions of closed symmetric operators. For an ordered pair of extensions we express the perturbation determinant in terms of the abstract Weyl function and the corresponding boundary operators. A crucial role in our approach plays so-called almost solvable extensions. We obtain trace formulas for pairs of self-adjoint, dissipative and other pairs of extensions and express the spectral shift function in terms of the abstract Weyl function and the characteristic function of almost solvable extensions. We emphasize that for pairs of dissipative extensions our results are new even for the case of additive perturbations. In this case we improve and complete some classical results of M.G. Krein for pairs of self-adjoint and dissipative operators. We apply the main results to ordinary differential operators and to elliptic operators as well.

研究の動機と目的

• 正則な作用素対から特異な作用素対へのKreinの摂動行列式理論の一般化、特に対称作用素の適切な拡張の対を対象とする。
• 抽象的境界三つ組を用いて、特異な摂動の文脈におけるトレース公式およびスペクトルシフト関数のための枠組みを構築する。
• 従来の古典的理論が不完全または適用不能である散乱的拡張に対して、新たな結果を確立する。
• 抽象的理論を、通常微分作用素および楕円型微分作用素を含む具体的な作用素に応用する。
• ほぼ可解な拡張のWeyl関数および特性関数を用いて、スペクトルシフト関数を特徴付ける。

提案手法

• 補助ヒルベルト空間および境界写像 Γ₀, Γ₁ を用いて、対称作用素の拡張を境界三つ組のアプローチで表現する。
• 抽象的Weyl関数 M(λ) およびほぼ可解な拡張の特性関数を用いて、拡張の対の摂動行列式を定義する。
• Krein型の作用素の公式を用いて、作用素の差の逆作用素とWeyl関数および境界作用素との関係を確立する。
• 関数計算および H∞-関数計算を用いて、上半平面における摂動行列式の正則性およびトレースクラス性を確立する。
• 摂動行列式の対数微分を積分することでトレース公式を導出し、それらをスペクトルシフト関数と関連付ける。
• 明示的な境界条件および特性関数を用いて、Sturm-Liouville作用素および2階楕円型作用素への理論の応用を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な摂動行列式の概念を、例えば対称作用素の異なる適切な拡張のような特異な作用素対にどのように拡張できるか。
• RQ2 抽象的Weyl関数および特性関数が、ほぼ可解な拡張の摂動行列式を表現する上で果たす役割は何か。
• RQ3 自己共役、散乱的、および m-蓄積的拡張の対に対して、スペクトルシフト関数のためのトレース公式をどのように導出できるか。
• RQ4 本研究の結果が、散乱的作用素に対してM.G. Kreinの古典的結果をどのように改善または補完するか。
• RQ5 抽象的枠組みを、Sturm-Liouville作用素や楕円型作用素のような具体的な微分作用素にどのように応用できるか。

主な発見

• 境界三つ組を用いて、作用素の逆作用素の差がトレースクラスでない場合でさえも有効な、特異な拡張の対に対する新しい一般化された摂動行列式を導入した。
• 自己共役拡張の対に対しては、スペクトルシフト関数がWeyl関数を用いた摂動行列式の対数微分として表現される。
• 散乱的拡張に対しては、Kreinの古典的結果を拡張・補完する新しいトレース公式を導出した。特に加法的摂動の場合に顕著である。
• ほぼ可解な拡張の特性関数は、摂動行列式およびスペクトルシフト関数を表現する上で中心的な役割を果たす。
• 行列式Sturm-Liouville作用素、(0,b) 上のSturm-Liouville作用素、境界がコンパクトな2階楕円型作用素への理論の適用に成功した。
• 標準的なKrein理論が、逆作用素の差がトレースクラスでないために失敗する状況でも、本枠組みによりトレース公式を導出可能である。