[論文レビュー] Perturbation determinants, the spectral shift function, trace identities, and all that

D. R. Yafaev|ArXiv.org|Jan 10, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、M. G. Kreïnのスペクトルシフト関数（SSF）理論を、トレースクラスでない摂動を伴う多次元シュレーディンガー作用素へと拡張し、SSFの高エネルギー漸近展開および整数および半整数順位のトレース恒等式を確立する。リゾルベントトレース恒等式とBirman-Kreïn公式を用いて、漸近係数の明示的表現を導出し、コン tour 積分と正則化された行列式を用いてトレース恒等式を証明することで、多次元散乱理論およびスペクトル解析における長年の課題を解決する。

ABSTRACT

We discuss applications of the M. G. Kre\uın theory of the spectral shift function to the multi-dimensional Schrödinger operator as well as specific properties of this function, for example, its high-energy asymptotics. Trace identities for the Schrödinger operator are derived.

研究の動機と目的

• トレースクラスの仮定が成り立たない多次元シュレーディンガー作用素に対して、M. G. Kreïnのスペクトルシフト関数（SSF）理論を拡張すること。
• 潜在関数 $v(x)$ に対して最小限の正則性仮定の下で、$d$ 次元シュレーディンガー作用素に対して $\lambda \to \infty$ のときのSSFの高エネルギー漸近展開（AE）を確立すること。
• 正則化摂動行列式およびスペクトルシフト関数の漸近展開を用いて、整数および半整数順位のトレース恒等式を導出すること。
• 熱不変量とリゾルベント展開を用いて、SSFおよび関連関数の漸近係数の明示的で計算可能な表現を提供すること。

提案手法

• 散乱行列とSSFを結ぶBirman-Kreïn公式 $\operatorname{Det} S(\lambda) = \exp(-2\pi i \xi(\lambda))$ を用いる。
• 散乱行列 $S(\lambda)$ の高エネルギー漸近展開を適用し、$\lambda \to \infty$ のときのSSF $\xi(\lambda)$ の漸近的挙動を導出する。
• 解析性および減衰性の性質を活用して、$\ln D_2(z)$ の積分をスペクトルデータに関連付けるためのキーパath $\Gamma_{R,\varepsilon}$ におけるコン tour 積分を用いる。
• $m > d/2 - 1$ に対して、$\operatorname{Tr}(R^m(z) - R_0^m(z))$ と $\ln D_2(z)$ の漸近展開の係数を比較することでトレース恒等式を導出する。
• トレースクラスでない摂動 $V \notin \mathfrak{S}_1$ の場合に $D_2(z)$ を定義するために、$A \in \mathfrak{S}_p$ のときの正則化行列式 $\operatorname{Det}_p(I + A)$ を用いる。
• リゾルベント差 $R(z) - R_0(z)$ の高エネルギーAEを用いて、$\xi(\lambda)$ および $\operatorname{Tr}(R^m(z) - R_0^m(z))$ のAEを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレースクラスでないポテンシャルを伴う多次元シュレーディンガー作用素に対して、スペクトルシフト関数 $\xi(\lambda)$ を厳密に定義し、解析することは可能か？
• RQ2 $v(x)$ に対して最小限の正則性仮定の下で、$d$ 次元シュレーディンガー作用素に対して $\lambda \to \infty$ のときのSSF $\xi(\lambda)$ の高エネルギー漸近展開は何か？
• RQ3 SSFおよび正則化摂動行列式の漸近展開から、整数および半整数順位のトレース恒等式を導出可能か？
• RQ4 SSFの漸近係数と熱不変量 $\mathbf{g}_k$ の正確な関係は何か？
• RQ5 奇数次元と偶数次元における $\ln|D_2(\lambda \pm i0)|$ の漸近的挙動はどのように異なるか？ そして、それらはスペクトルトレースにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 多次元の場合、一般に $L^1_{\text{loc}}$ であるが、$\lambda > 0$ に対してスペクトルシフト関数 $\xi(\lambda)$ は連続である。特に $d > 3$ の場合、その証明は極めて複雑である。
• $d$ が奇数のとき、トレース恒等式における $t^n$ の係数はゼロである。$d$ が偶数のとき、$(-1)^n (4\pi)^{-d/2} \mathbf{g}_{d/2+n}$ に等しくなる。これにより、恒等式が熱不変量と関連づけられる。
• 正則化摂動行列式 $D_2(z)$ の高エネルギー漸近展開は、$\ln D_2(z) = \sum_{n=1}^\infty \delta_n (-z)^{d/2-1-n}$ であり、$\delta_n = -(4\pi)^{-d/2} \Gamma(n+1 - d/2) \mathbf{g}_{n+1}$ である。
• $d \leq 3$ の場合、半整数順位のトレース恒等式は $\pi^{-1}(-1)^n \int_0^\infty \ln|D_2(\lambda+i0)| \lambda^{n-1/2} d\lambda - (n+1/2)^{-1} \sum_j |\lambda_j|^{n+1/2} = \delta_{n+1}$ で与えられ、$\delta_n$ は $\mathbf{g}_k$ を用いて定義される。
• コン tour 積分 $\int_{\Gamma_{R,\varepsilon}} \ln D_2(z)(-z)^{n-1/2} dz$ の発散項は、$R \to \infty$ のとき漸近的に相殺され、トレース恒等式の収束が保証される。
• 整数順位のトレース恒等式は、半整数順位のものと同じ方法で導出可能であるが、特に $v(x)$ の減衰性に関するより強い仮定（特に定理7.1より強いもの）を必要とする。