[論文レビュー] Perturbation of $l^1$-copies and measure convergence in preduals of von Neumann algebras

Hermann Pfitzner|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限な忠実な正規測度を持つvon Neumann代数の予対の有界列における測度収束の特徴づけを確立する。このような列が測度でゼロに収束するための必要十分条件は、任意の部分列が、ノルムで収束するか、または $\ell^1$-コピーをほぼ等長的に生成する部分列を含むことであることを示し、非可換 $L^1$-空間における $\ell^1$-列の摂動に関する古典的結果を定量的に精密化する。

ABSTRACT

Let L_1 be the predual of a von Neumann algebra with a finite faithful normal trace. We show that a bounded sequence in L_1 converges to 0 in measure if and only if each of its subsequences admits another subsequence which converges to 0 in norm or spans $l^1$ "almost isometrically". Furthermore we give a quantitative version of an essentially known result concerning the perturbation of a sequence spanning $l^1$ isomorphically in the dual of a C$^*$-algebra.

研究の動機と目的

• 有限な忠実な正規測度を持つvon Neumann代数の予対における有界列の測度収束を特徴づけること。
• 非可換 $L^1$-空間における $\ell^1$-列に関する既知の結果を、定量的な摂動基準を提供することによって拡張すること。
• ほぼ等長な $\ell^1$-コピーとノルム近似を用いた関数解析的特徴づけを通じて、測度収束を確立すること。
• 直交射影と摂動バウンドを用いたC*-代数の双対における $\ell^1$-列の構造を一般化すること。

提案手法

• 測度収束と、ノルムで収束するか、または $\ell^1$ をほぼ等長的に生成する部分列を含むことの間の同値性を利用する。
• 定理2を適用して、von Neumann代数予対において $\ell^1$ をほぼ等長的に生成する任意の列は、互いに直交する関数泛の列によるノルム近似を有することを示す。
• 極分解と射影技術を用いて、非可換 $L^1$-空間における摂動のノルムを制御する。
• $\varepsilon_n$ と $\delta_n$ の列を再帰的に構成し、$\ell^1$-列のほぼ等長埋め込みを保証する。
• Hahn-Banach拡張技術を用いて、非単位的C*-代数からそのユニタリゼーションへの関数泛の拡張を行い、ノルムと絶対値構造を保存する。
• 非可換 $L^1$-理論からの不等式、特に[21, III.4.7]および[21, III.4.9]の結果を用いて、摂動された関数泛のノルムをバウンドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 von Neumann代数の予対における有界列が測度でゼロに収束するのはいつか？
• RQ2 非可換 $L^1$-空間において $\ell^1$ をほぼ等長的に生成する列はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 $\ell^1$ をほぼ等長的に生成する列は、互いに直交する関数泛の列によるノルム近似が可能か？
• RQ4 C*-代数の双対における $\ell^1$-列の摂動はどのように振る舞い、どのようなバウンドを確立できるか？
• RQ5 直交射影と正の元は、非可換 $L^1$-空間における関数泛の近似において果たす役割は何か？

主な発見

• 有限な忠実な正規測度 $\tau$ を持つvon Neumann代数 $\mathcal{N}$ の予対 $\mathcal{N}_*$ における有界列 $ (x_n) $ が $\tau$-測度でゼロに収束するための必要十分条件は、任意の部分列が、ノルムで収束するか、または $\ell^1$ をほぼ等長的に生成する部分列を含むことである。
• 予対 $\mathcal{N}_*$ に属する $\ell^1$ をほぼ等長的に生成する任意の有界列に対して、ある部分列と、互いに直交する関数泛の列が存在し、その部分列がこの直交関数泛の列にノルムで収束する。
• 測度収束とほぼ等長な $\ell^1$ 構造の同値性は、有界でない列に対しても成り立ち、この場合、(i) $\Leftrightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Leftrightarrow$ (iv) の関係が成立する。
• C*-代数の双対において、$\ell^1$ をほぼ等長的に生成する任意の列は、$\varepsilon$-近似として、$ b_n \phi_{m_n} a_n $ の形の関数泛によってノルム近似可能であり、ここで $ (a_n), (b_n) $ は互いに直交する正規化された正の元である。
• 証明により、定量的摂動結果が確立される：任意の $\varepsilon > 0 $ に対して、直交射影 $ s_l, t_l $ が存在し、$ \| \phi_{m_l} - t_l \phi_{m_l} s_l \| \to 0 $ が成り立ち、これにより $\ell^1$-列が直交列によってノルム近似可能であることが保証される。
• 非単位的C*-代数に対しても、ユニタリゼーションを用いることで、Hahn-Banach拡張により関数泛のノルムと絶対値構造が保存され、結果が拡張可能である。