[論文レビュー] Perturbation Resilient Clustering for $k$-Center and Related Problems via LP Relaxations

Chandra Chekuri, Shalmoli Gupta|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

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ひとこと要約

本稿では、k-centerおよびk-center with outliersの自然な線形計画法（LP）緩和が2-摂動耐性下で整数解をとることを示している。これは、距離の摂動が度合2以内で度合を保つメトリック変換に対して安定なインスタンスでは、LP緩和が最適クラスタリングを正確に回復することを意味する。本手法は、最小全域木（MST）に基づく分解と変換された二分木上の動的計画法を組み合わせており、k-median や k-means を含む複数の中心に基づく目的関数についても、同じ耐性条件下で正確に解けることを示している。

ABSTRACT

We consider clustering in the perturbation resilience model that has been studied since the work of Bilu and Linial [ICS, 2010] and Awasthi, Blum and Sheffet [Inf. Proc. Lett., 2012]. A clustering instance $I$ is said to be $α$-perturbation resilient if the optimal solution does not change when the pairwise distances are modified by a factor of $α$ and the perturbed distances satisfy the metric property --- this is the metric perturbation resilience property introduced in Angelidakis et. al. [STOC, 2010] and a weaker requirement than prior models. We make two high-level contributions. 1) We show that the natural LP relaxation of $k$-center and asymmetric $k$-center is integral for $2$-perturbation resilient instances. We belive that demonstrating the goodness of standard LP relaxations complements existing results that are based on combinatorial algorithms designed for the perturbation model. 2) We define a simple new model of perturbation resilience for clustering with \emph{outliers}. Using this model we show that the unified MST and dynamic programming based algorithm proposed by Angelidakis et. al. [STOC, 2010] exactly solves the clustering with outliers problem for several common center based objectives (like $k$-center, $k$-means, $k$-median) when the instances is $2$-perturbation resilient. We further show that a natural LP relxation is integral for $2$-perturbation resilient instances of \kcenter with outliers.

研究の動機と目的

• 安定なクラスタリングインスタンスにおいて、標準的なLP緩和が実際によく機能する理由を理解すること。
• 摂動耐性下でのLP緩和の整数性に関する理論的保証を確立すること、特にk-centerおよび関連問題に対して。
• 外れ値を伴うクラスタリングのための新しいメトリック摂動耐性モデルを導入し、それが正確な多項式時間解法を可能にすることを示すこと。
• k-center、k-median、k-means と外れ値を含む問題を、MSTと動的計画法に基づく統一的枠組みで分析すること。
• 標準的な数学的プログラミング定式化（LP）が、安定なインスタンスにおいて最適解を十分に捉えられることを示し、特殊なアルゴリズム設計を補完すること。

提案手法

• 摂動耐性のあるインスタンスにおける構造的安定性を活用するため、入力点集合の最小全域木（MST）を構築する。
• 効率的な二分木上の動的計画法を可能にするために、ダミー頂点を用いてMSTを二分木に変換する。
• 部分木Tuをj個のクラスタに分割する際の最小コストを追跡する動的計画状態 opt(u, j, t, c) を定義する。ここでtは外れ値の数、cはuを含むクラスタの中心を表す。
• 左・右部分木からの解を再帰的に組み合わせるための式を用い、uが外れ値である場合や子を含むクラスタに属する場合のケースを処理する。
• コスト関数と外れ値制約を変更することで、同じフレームワークをk-center with outliersに適用し、動的計画法の構造を維持する。
• 2-摂動耐性インスタンスでは、LP緩和が整数解を生成することを証明し、最適クラスタリングの正確な回復を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-centerおよびk-center with outliersの標準的なLP緩和が、2-摂動耐性下で整数解をとることを示せるか？
• RQ2 先行研究のMSTに基づく動的計画法フレームワークは、メトリック摂動耐性下での外れ値を伴うクラスタリングに拡張可能か？
• RQ3 外れ値を伴うクラスタリングのための統一的摂動耐性モデルを定義でき、正確な多項式時間解法を可能にするか？
• RQ4 摂動耐性インスタンスにおけるLP緩和の整数性は一般現象であるか、特定のアルゴリズムに限定されるか？
• RQ5 既存のヒューリスティクスの性能は、安定インスタンスにおけるLP整数性によって理論的に説明可能か？

主な発見

• メトリック摂動下で2-摂動耐性であるインスタンスでは、k-centerの自然なLP緩和が整数解をとることを示した。これにより、最適解が正確に回復される。
• 提案されたメトリックベースのモデル下で2-摂動耐性である場合、k-center with outliersに対しても同じLP緩和が整数解をとることを示した。
• MSTに基づく統一的動的計画法アルゴリズムにより、2-摂動耐性インスタンスにおいてk-center、k-median、k-means with outliersを正確に解ける。
• MSTの二分木表現上の動的計画法定式化により、元の外れ値を伴うクラスタリング問題と同等の木分割問題を正確に解ける。
• このフレームワークは、k-means や k-median と外れ値を含む他のℓp目的関数に対しても、同じ2-摂動耐性条件下で一般化可能である。
• 結果として、安定なインスタンスにおいて標準的なLP緩和が最適解を十分に捉えられることを示し、このような定式化の実験的成功を理論的に説明する根拠が得られた。