[論文レビュー] Perturbation theory approaches to Anderson and Many-Body Localization: some lecture notes

Antonello Scardicchio, Thimothée Thiery|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Quantum many-body systems参考文献 33被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、前向き散乱近似（FWA）とロケータ展開を用いて、アンドリュー秩序と多体局在（MBL）を摂動的アプローチで理解する手法を提示する。演算子空間における局在ダイアグラムの収束性を分析することで、相互作用強さが系の接続性の逆数および不純度強度の対数関数に反比例する閾値未満である限り、局在が持続することを示した。

ABSTRACT

These are lecture notes based on three lectures given by Antonello Scardicchio at the December 2016 Topical School on Many-Body-Localization organized by the Statistical Physics Group of the Institute Jean Lamour in Nancy. They were compiled and put in a coherent logical form by Thimothée Thiery.

研究の動機と目的

• 単粒子のアンドリュー局在に由来する手法を拡張し、前向き散乱近似（FWA）に基づく多体局在（MBL）を分析するための摂動的フレームワークを構築すること。
• 局在演算子（LIOM）の展開が収束する条件を確立し、演算子空間における局在性を保証することで、多体スペクトルにおける局在性を確保すること。
• 図式展開における有効経路の統計的挙動を分析することで、MBL転移の臨界相互作用強さを推定すること。
• 演算子格子における有効接続性を導入することで、電子密度および有限温度効果を組み込み、スペクトルに移動性端をもたらすこと。
• 高次元における非摂動的効果および境界寄与の役割を明らかにし、摂動的LIOM構成が失敗する理由を解明すること。

提案手法

• 多体ハミルトニアンを粗視化された演算子空間で簡略化するため、前向き散乱近似（FWA）を用いる。相互作用を摂動項として扱う。
• リゾルベントにロケータ展開を適用し、演算子空間における有効経路重みの分布を用いて収束性を分析する。
• 有効な演算子間相互作用を、厚尾分布を示す経路の和としてモデル化し、大きな経路重みの確率を推定する。
• 最大行列要素の生存確率が熱力学的極限で有限に保たれる条件を要求することで、局在の臨界条件を導出する。
• 大偏差理論と漸近的解析を用いて、図の数および経路重みの尾確率を推定する。
• 電子密度を反映させるために $\mathcal{K}_{\text{eff}} = \nu(1-\nu)\mathcal{K}$ を導入し、臨界相互作用閾値を修正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局在演算子（LIOM）に対する前向き散乱近似（FWA）が収束する条件は何か？ これにより多体局在が保証されるか？
• RQ2 MBL相転移の臨界相互作用強さは、不純度強度、 hopping 幅、および系の接続性にどのように依存するか？
• RQ3 電子密度は臨界相互作用強さにどのような影響を及ぼし、スペクトルに多体移動性端をもたらすか？
• RQ4 非摂動的効果や境界寄与は、高次元における摂動的LIOM構成の有効性にどのように影響するか？
• RQ5 図式展開における有効経路の統計的性質を用いて、MBL転移点を正確に予測できるか？

主な発見

• MBL相転移の臨界相互作用強さは $\lambda_c \simeq \frac{\sqrt{2\pi}}{2eC} \frac{1}{{\cal K}\log({\cal K})}$ と推定され、演算子格子の接続性 $\mathcal{K}$ に対して対数的逆比例の依存性を示す。
• LIOMの展開が収束する限り、演算子空間における局在性が保証され、これは有効経路重み分布が指数的尾部より軽い（すなわち、超指数的尾部が重くない）場合に成立する。
• 電子密度を $\mathcal{K}_{\text{eff}} = \nu(1-\nu)\mathcal{K}$ を通じて組み込むことで、密度依存の臨界相互作用強さが得られ、多体移動性端の存在を示唆する。
• 導出は、経路重み確率の大偏差推定に依存しており、図の数の増加率と尾の減衰率がバランスする場合に限り、最大行列要素の生存確率が1に収束する。
• $W/g \to \lambda$ および $K \to (C/\sqrt{2\pi})\mathcal{K}$ の写像により、結果はベーゼ格子におけるFWA結果と形式的に同等であり、制御された極限でアプローチの妥当性が裏付けられる。
• 解析から、境界効果のため高次元では摂動的LIOM構成が失敗する可能性があることが示唆され、局在演算子のより洗練された定義が求められる。