[論文レビュー] Perturbation theory for the matrix square root and matrix modulus

Marcus Carlsson|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異行列の場合の行列平方根および行列ノルムの1次摂動公式を初めて開発し、非特異行列に限らないDaleckii-Krein定理の拡張を行う。行列が特異である場合の主要な挙動を捉えるために、シュール補行列に基づく非線形1次項を導入し、誤差項が$O(\|E\|^{3/2})$であることを示し、Fréchet微分可能性が成立しない場合でも計算可能で明示的な近似が得られる。

ABSTRACT

We provide first order perturbation formulas for the matrix square root (in the positive semi-definite case) and the matrix modulus (in the general case). The results are new for singular matrices, and extend previously known Fréchet differentiability formulas provided by the Daleckii-Krein theorem.

研究の動機と目的

• 標準的なFréchet微分可能性が、$t \mapsto \sqrt{t}$が$t=0$で微分不能であるために失敗するため、特異行列に対する行列平方根および行列ノルムの摂動理論を拡張すること。
• 行列$A$が特異である場合の$\sqrt{A+E}$および$|A+E|$に対する明示的な1次近似を、$A$のスペクトル基底におけるシュール補行列分解を用いて導出すること。
• $s > 1/3$に対して$A \mapsto A^s$に対して一般な枠組みを確立し、$A$が特異である場合には1次項が非線形であるが、明確に定義されたシュール補行列に制限されることを示すこと。
• 行列ノルム摂動に対して計算可能な公式を提供し、非線形成分を$|P_0 E P_0|$（$P_0$は$\ker A$への射影）に分離することで、実用的な計算が可能になるようにすること。

提案手法

• 行列$A$のスペクトル基底における摂動$E$のシュール補行列分解を用いて、特異ケースにおける$\sqrt{A+E}$の1次摂動公式を導出する。標準的なDaleckii-Kreinの線形項に代えて、非線形だが明示的な表現を導入する。
• 非特異ケースでは$[\sqrt{\cdot}, \alpha]_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{\alpha_i} + \sqrt{\alpha_j}}$を定義し、特異ケースに一般化する際に修正されたシュール補行列構造を用いる。
• Wihlerの不等式と行列平方根の摂動理論を適用し、行列ノルム$|A+E| = \sqrt{(A+E)^* (A+E)}$における非線形項を処理する。摂動をブロックに分解する。
• スペクトル分解$A = U \Lambda_\alpha U^*$を用い、$\hat{E} = U^* E U$を定義し、$A$の非ゼロ固有値およびゼロ固有値に対応するブロックに$\hat{E}$を分割する。
• 定理3.1（$s > 1/3$に対する行列平方根の摂動）を$(A+E)^* (A+E)$のブロック行列形に適用し、誤差$O(\|E\|^{3/2})$の1次近似を導出する。これは特異ケースにおいて最適である。
• 行列ノルム$|A+E|$の1次項における唯一の非線形成分が、$P_0$（$\ker A$への射影）への$|P_0 E P_0|$であることを特定し、全体の式が計算可能で構造的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なFréchet微分が存在しない特異行列に対して、行列平方根の1次摂動理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 行列$A$が特異である場合の$\sqrt{A+E}$における主要項の構造は何か？ そして、計算可能な非線形形式で表現できるか？
• RQ3 特異ケースにおいても明示的かつ計算可能な1次近似を保つように、行列ノルム$|A+E|$の摂動をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 特異行列における摂動展開の誤差項は、必ず$O(\|E\|^2)$より悪いものとなるのか？ それとも$O(\|E\|^{3/2})$に改善できるか？
• RQ5 行列$A$の核が非線形成分を決定する役割を果たすか？ そして、これは$|P_0 E P_0|$として分離可能か？

主な発見

• 特異な$A$に対して、$\sqrt{A+E}$の1次摂動は$\sqrt{A} + U(\Xi \circ \hat{E}_{\text{schur}})U^* + O(\|E\|^{3/2})$で与えられ、$\Xi$は修正されたカーネル行列、$\hat{E}_{\text{schur}}$は$E$のシュール補行列である。この項は非線形だが計算可能である。
• 行列平方根摂動における誤差項は$O(\|E\|^{3/2})$で有界であり、これは特異ケースにおいて最適であり、ゼロにおける微分不能性のため失敗する$O(\|E\|^2)$の境界を改善する。
• 行列ノルム$|A+E|$の1次近似は$|A| + V(\Xi_{\sigma}^\alpha \circ \hat{Z})V^* + O(\|Z\|^{3/2})$で与えられ、非線形成分は$|P_0 E P_0|$に限定され、$P_0$は$\ker A$への射影である。これにより明示的な計算が可能になる。
• 理論はすべての$s > 1/3$に対して$A \mapsto A^s$に拡張可能であり、$\ker A \neq \{0\}$のとき1次項$L(E)$は非線形であるが、シュール補行列を用いて依然として計算可能である。
• 行列ノルム摂動における非線形項は、$|P_0 E P_0|$に起因し、残りの摂動はシュール補行列構造に従って線形である。これは無限次元における一様有界性の欠如を説明する。
• 本研究は、無限次元においてリプシッツ連続性が失敗するが、行列ノルムの1次摂動に対して明示的かつ計算可能な近似を提供するという、長年の行列摂動理論における問題を解決した。