[論文レビュー] Perturbation Theory for Weak Measurements in Quantum Mechanics, I -- Systems with Finite-Dimensional State Space

Miguel Ballesteros, Nick Crawford+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限次元量子系における弱い測定の摂動理論を展開し、小さな非可換ハミルトニアンの摂動が、有限スペクトルを持つ観測可能量の固有状態間のマコフ過程を誘導する仕組みを分析している。時間スケーリングと弱結合極限において、観測可能量の最尤推定値がそのスペクトル上での連続時間マコフ過程に収束することを示しており、量子フィルタリングおよび制御における間接測定モデルに、厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

The quantum theory of indirect measurements in physical systems is studied. The example of an indirect measurement of an observable represented by a self-adjoint operator $\mathcal{N}$ with finite spectrum is analysed in detail. The Hamiltonian generating the time evolution of the system in the absence of direct measurements is assumed to be given by the sum of a term commuting with $\mathcal{N}$ and a small perturbation not commuting with $\mathcal{N}$. The system is subject to repeated direct (projective) measurements using a single instrument whose action on the state of the system commutes with $\mathcal{N}$. If the Hamiltonian commutes with the observable $\mathcal{N}$ (i.e., if the perturbation vanishes) the state of the system approaches an eigenstate of $\mathcal{N}$, as the number of direct measurements tends to $\infty$. If the perturbation term in the Hamiltonian does extit{not} commute with $\mathcal{N}$ the system exhibits "jumps" between different eigenstates of $\mathcal{N}$. We determine the rate of these jumps to leading order in the strength of the perturbation and show that if time is re-scaled appropriately a maximum likelihood estimate of $\mathcal{N}$ approaches a Markovian jump process on the spectrum of $\mathcal{N}$, as the strength of the perturbation tends to $0$.

研究の動機と目的

• 小さな非可換ハミルトニアンの摂動が加わる有限スペクトルの観測可能量に対する間接的量子測定を分析すること。
• このような摂動によって生じる、観測可能量の固有状態間の確率的ジャンプダイナミクスの出現を理解すること。
• 弱結合および時間スケーリングの下で、観測可能量の最尤推定値の極限的挙動を導出すること。
• 摂動理論を用いて、弱い測定のための数学的枠組みを厳密に確立すること。
• 離散的測定プロトコルと弱結合極限における連続時間マコフ過程との関係を明らかにすること。

提案手法

• 可換項と小さな非可換摂動を含むハミルトニアンに従って時間発展する系とエンタングルされたプローブに対する繰り返しの射影測定をモデル化する。
• 測定間のユニタリー時間発展演算子を εH で記述し、ε は摂動の強さを表す。
• 状態の更新を記述するため、ジャンプ演算子 Vξ を用いた量子操作形式を適用する。
• 時間スケーリングと弱結合極限を用いて、観測可能量の最尤推定値がそのスペクトル上でのマコフ過程に収束することを導出する。
• 測定系列の相関を制御するために、オプション停止時間定理とモーメントの上限を用いる。
• 確率的平均化と摂動論を用いて、繰り返しの間接測定下での系の状態の極限的ダイナミクスを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系のハミルトニアンにおける小さな非可換摂動が、有限スペクトルの観測可能量の長時間測定挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 このような摂動の下で、観測可能量の固有状態間の遷移レートは何か？
• RQ3 どのようなスケーリング極限において、観測可能量の最尤推定値が連続時間マコフ過程に収束するか？
• RQ4 ユニタリー時間発展と射影測定の相互作用が、弱結合領域で有効なマコフ的ダイナミクスをどのように生じさせるか？
• RQ5 このようなモデルにおける測定系列の統計的モーメントを制御するために必要な数学的道具は何か？

主な発見

• 観測可能量 𝒩 の固有状態間のジャンプレートは、摂動強さの一次の項までで決定される。
• 適切な時間スケーリングの下で、最尤推定値 𝒩 は、摂動強さ ε → 0 の極限において、𝒩 のスペクトル上でのマコフ過程に収束する。
• 極限生成作用素は摂動ハミルトニアンと測定相互作用から導出され、離散的測定プロトコルと連続時間ダイナミクスとの間の明確な関係を確立する。
• オプション停止時間定理とコーシー・シュワルツ不等式を用いて、測定系列のモーメントの上限が確立され、期待値における収束が保証される。
• 間隔時間 T のモーメントが E[T^k] ≤ C E[T]^k を満たすような定数 C に対して、収束は安定であると仮定される。
• 本モデルは、量子フィルタリングにおける弱い測定の数学的厳密な枠組みを提供し、キャビティQEDや固体状態実験への応用が可能である。