[論文レビュー] Perturbation theory of dynamical systems

Nils Berglund|ArXiv.org|Nov 15, 2001

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用数 19

ひとこと要約

この講義ノートは、力学系における摂動論を紹介し、平面上の系における構造的安定性、平均化法およびKAM理論を用いた正則摂動、およびスローマニフォールドとTihonovの定理を用いた特異摂動に焦点を当てる。微小なパラメータ変更が長期的ダイナミクスに与える影響を理解するためのきめ細やかで厳密な基盤を提供し、不変曲線、分岐遅延、マルチスケール系における漸近展開に関する主要な結果を含む。

ABSTRACT

This text is a slightly edited version of lecture notes for a course I gave at ETH, during the Summer term 2001, to undergraduate Mathematics and Physics students. It covers a few selected topics from perturbation theory at an introductory level. Only certain results are proved, and for some of the most important theorems, sketches of the proofs are provided. Contents: Chapter 1 - Introduction and Examples Chapter 2 - Bifurcations and Unfolding Chapter 3 - Regular Perturbation Theory Chapter 4 - Singular Perturbation Theory

研究の動機と目的

• 理系学部の学生を対象に、摂動論へのアクセス可能な導入を提供すること。
• 微小な摂動が力学系の定性的な挙動に与える影響を、特に構造的安定性および分岐の文脈で分析すること。
• 平均化、正規形、不変多様体論を含む、正則および特異摂動を研究するためのツールを開発すること。
• 漸近展開およびマルチスケール解析を用いて、分岐点付近のダイナミクスを説明すること。
• KAM理論および特異摂動論の基礎的結果を確立すること。具体的には、スローマニフォールドの存在および遅れ分岐現象を含む。

提案手法

• Peixotoの定理に基づき、位相的手法を用いて構造的安定な平面上のベクトル場およびその分岐を分類する。
• 平均化法およびLie-Deprit級数を用いて、ハミルトニアン系の次元を低減し、周期軌道を分析する。
• Tihonovの定理を用いて、速い・遅い時間スケールが明確に分離された特異摂動系におけるスローマニフォールドの存在を正当化する。
• 非双曲的平衡点の近傍における解の漸近的級数展開を構築し、反復法による補正を加える。
• 一致漸近展開を用いて、遅れホーフ分岐やサドルノード分岐といった動的分岐を分析する。
• 標準的な漸近解析が失敗する臨界点付近の挙動を解消するために、スケーリング変換（例：ε^{1/3}、ε^{2/3}）を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小な摂動に対して、力学系の定性的なダイナミクスが変わらない条件は何か？
• RQ2 元の系が可積分であるとき、摂動された系の長期的挙動を体系的に近似する方法は何か？
• RQ3 摂動パラメータεが微小だが非ゼロであるとき、分岐点付近の解にはどのようなことが起こるか？
• RQ4 広く分離された時間スケールを持つ系において、スローマニフォールドの存在をどのように正当化できるか？
• RQ5 なぜ一部の漸近級数は臨界点付近で破綻するのか？スケーリングおよび一致漸近法を用いてこれをどのように是正できるか？

主な発見

• 構造的安定な平面上のベクトル場は、開かつ稠密な部分集合をなし、その分岐はサドルノード分岐やホーフ分岐といった余次元1の特異点によって分類される。
• εが小さいとき、摂動された1次元系 ẋ = -x + εx² の解は、初期値x₀ < 1/ε ならば0に収束し、x₀ = 1/ε ならば一定に保たれ、x₀ > 1/ε ならば発散する。
• スローマニフォールド補正の漸近級数は |η| < ε^{2/3} のとき発散し、分岐点付近での展開の破綻を示す。
• サドルノード分岐付近では、スケーリング変換 u = ε^{-1/3}ξ、v = ε^{-2/3}η を用いることで、摂動付きリッカティ方程式に帰着され、遅れダイナミクスの解析が可能になる。
• 解はリラクゼーション振動を示す：スローマニフォールドに沿った遅い運動に続き、急激なジャンプが発生し、xでは振幅がε^{1/3}、yではε^{2/3}のオーダーをとる。
• 遅れ分岐現象は、系が不安定なスローマニフォールドの分岐上に、ε^{2/3}のオーダーの時間にわたりとどまるため生じる。