[論文レビュー] Perturbations of L-functions with or without non-trivial zeros off the critical line

P. M. Gauthier, Xavier Xarles|ArXiv.org|Nov 26, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、標準的な関数方程式を満たすL関数の小さな摂動が、状況によってはグランドリーマン予想を満たさないか、満たすかの両方が可能であることを示している。関数方程式を満たすL関数の空間において、リーマン予想を満たさない関数は一般であることが証明されるとともに、リーマン予想を満たす関数は摂動によって近似可能であることが示され、小さな変形の下でのGRHの破綻と保存の両方が確認された。

ABSTRACT

There exist small perturbations of L-functions, satisfying the appropriate functional equation, for which the analogue of the Riemann hypothesis fails radically. Moreover, this phenomenon is generic. However, there also exist small perturbations, for which the analogue of the Riemann hypothesis holds.

研究の動機と目的

• 標準的な関数方程式を満たすL関数の小さな摂動が、グランドリーマン予想を満たさないことがあるかどうかを調査すること。
• グランドリーマン予想を保つようなそのような摂動が存在するかどうかを特定すること。
• 関数方程式を満たすメラモーフィック関数および正則関数の空間において、リーマン予想を破る摂動の一般性を確立すること。
• リーマンゼータ関数に対して知られている結果を、ガンマ因子と導手項を含む関数方程式を持つL関数のより広いクラスに拡張すること。
• グランドリーマン予想を満たす関数による近似が、そのような関数が全空間において稠密でない場合でも可能であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、s = 1/2に関して対称なメラモーフィック関数ν(s)による乗算によってL関数の摂動を考察し、関数方程式の構造を保った。
• 関数方程式ΛQ(f,s) = ΛQ(f,1−s)を満たすメラモーフィック関数の空間MQを定義し、MQ内の正則関数の部分空間HQを定義する。
• コンパクト集合上で一様収束する位相を用いて、MQおよびHQにおけるGRHを満たす関数の集合RMQおよびRHQの稠密性と開性を分析する。
• 同時に近似と補間を行う一般化されたウォルシュ補題を適用し、GRHを保つか破る摂動を構成する。
• 元のL関数の対称性（例えば実数値性や複素共役に関する対称性）が、近似関数においても保たれることを検証する。
• モジュラー形式、楕円曲線、関数体上のゼータ関数に関連するL関数などの明示的な例を提示し、GRHが成り立つことを示し、摂動によってその性質を保つか破壊することができるかを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な関数方程式を満たすL関数の小さな摂動が、グランドリーマン予想を満たさないことがあるか？
• RQ2 関数方程式を満たすメラモーフィック関数および正則関数の空間において、リーマン予想を破る摂動の集合は一般であるか？
• RQ3 摂動されたL関数に対してもグランドリーマン予想が成り立つような摂動を構成できるか？
• RQ4 グランドリーマン予想が既知に成り立つ明示的なL関数のクラスが存在するか？ また、そのような関数は、予想を保つか破る摂動によって近似可能か？
• RQ5 元のL関数の対称性（例えば実数値性や共役対称性）が、近似摂動において保持可能か？

主な発見

• MQに属するメラモーフィック関数のうち、グランドリーマン予想を破る関数の集合は、開かつ稠密であり、摂動空間においてその破綻が一般であることを示している。
• 同様に、HQに属する正則関数のうち、グランドリーマン予想を破る関数の集合も開かつ稠密であり、正則関数の場合におけるGRH破綻の一般性を確認している。
• 関数方程式を保ち、かつグランドリーマン予想を満たすL関数の小さな摂動が存在することを示し、GRHを保つ近似が構成的に可能であることを示している。
• 結果は、ディリクレ指標、ヘッケ指標、モジュラー形式、自動形式に関連するL関数に対しても、ガンマ因子と導手項を含む標準的な関数方程式を持つ限り有効である。
• 根数W(ρ) = 1で実表現をもつL関数、あるいはL(1/2) ≠ 0を満たすQ上の楕円曲線から得られるL関数では、グランドリーマン予想が成り立ち、そのような関数は、予想を保つか破る摂動によって近似可能である。
• 近似関数の構成において、元のL関数が複素共役に関して対称であるか実数値である場合、その対称性を保つように関数を選べることを示している。