[論文レビュー] Perturbations of Mathieu equations with parametric excitation of large period

Mário Bessa|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、大周期パラメトリック励起を伴うマシュー方程式の摂動を研究し、任意のこのような系の近くに、すべての閉軌道のうち有限個を除き不安定解を示す周期的係数をもつハミルトニアン減衰マシュー方程式が存在することを証明している。不安定性は、周期的係数の小 $C^0$ 摂動によって生じ、コycle理論および $sl(2,\mathbb{R})$ 上のトレースゼロ行列の力学を用いて実現される。主な結果として、長大な閉軌道が存在する状況下で、一般に不安定性が生じることを確立している。

ABSTRACT

We consider a linear differential system of Mathieu equations with periodic coefficients over periodic closed orbits and we prove that, arbitrarily close to this system, there is a linear differential system of Hamiltonian damped Mathieu equations with periodic coefficients over periodic closed orbits such that, all but a finite number of closed periodic coefficients, have unstable solutions. The perturbations will be peformed in the periodic coefficients.

研究の動機と目的

• 周期的係数をもつマシュー方程式から導かれる線形微分方程式系の力学的挙動を調査すること。
• 長大な閉軌道が存在する状況において、周期的係数の小さな摂動が解の安定性に与える影響を理解すること。
• 任意の周期的係数をもつマシュー方程式の近くに、ほとんどすべての閉周期的軌道で不安定解を示す減衰ハミルトニアン系が存在することを示すこと。
• 線形スカラーフローにおける係数関数の $C^0$ 摂動を通じて不安定性を誘導する一般的メカニズムを確立すること。

提案手法

• コycle形式を用いて、マシュー方程式をコンact多様体上の線形スカラーフローとして表現する。
• 係数関数 $A: M \to \mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})$ をもつ線形微分方程式系 $(M, \varphi^t, A)$ をモデル化し、$C^0$ 位相における摂動を検討する。
• $sl(2,\mathbb{R})$ のリー代数構造を用いて、ハミルトニアン（トレースゼロ）の力学を保証し、基本解における面積保存性を維持する。
• Lemma 2.1 を用いて、小方向のスケーリングおよび回転をモノドロミー行列に適用する明示的摂動を構成し、元の系に $C^0$ 近接することを保証する。
• 文献 [3, Lemma 6.6] の結果を適用し、十分に長い軌道（$\pi(p) \geq T$）に対して、モノドロミー行列が実固有値（双曲的または放物型）を持つように摂動を設計できることを示す。
• 関数 $g(t)$, $\eta$, 行列成分を用いた変換を通じて、摂動係数 $\Gamma_\eta(t)$ および $\Psi_\eta(t)$ を定義し、$\Gamma_\eta \to 0$ および $\Psi_\eta \to \psi(t)$ が $\eta \to 0$ のとき成り立つように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マシュー方程式の周期的係数に対する小さな $C^0$ 摂動が、ほとんどすべての閉周期的軌道における解の不安定性を誘発できるか。
• RQ2 与えられたマシュー方程式の近くに、有限個の軌道を除きすべての周期的軌道で不安定解を示す減衰ハミルトニアン系を構成可能か。
• RQ3 軌道長がモノドロミー行列の摂動による不安定性の生成に果たす役割は何か。
• RQ4 摂動を軌道に局在化しつつ、元の系に $C^0$ 近接性を保ち、かつモノドロミー写像に実固有値をもたらすにはどうすればよいか。
• RQ5 複素固有値（楕円型）をもつ系が、どのような条件下で実固有値（双曲型または放物型）に摂動され、結果として不安定性が誘発されるか。

主な発見

• 任意の $\delta > 0$ に対して、$T > 0$ が存在し、すべての閉軌道について $\pi(p) \geq T$ ならば、元の系に $B \in \mathcal{U}(A, \delta)$ となる $C^0$ 摂動 $B$ が存在し、$\Phi_B^{\pi(p)}$ が実固有値のみをもつ。
• 摂動系 $B$ は、$\Gamma_\eta(t)$ がゼロに近く、$\Psi_\eta(t)$ が $\psi(t)$ に近い減衰ハミルトニアン・マシュー方程式であり、元の系に $C^0$ 近接していることが保証される。
• 摂動系の閉周期的軌道のうち、有限個を除きすべてが不安定解を示す。これは、モノドロミー行列の実固有値が単位円上にないことによって裏付けられる。
• 摂動は局在的である：$B = A$ は閉軌道の小さな近傍以外で成り立ち、元の力学をその領域外で保存する。
• モノドロミーを $k$ 重積 $C_j$ の写像に分解し、$|\theta_j| < \delta$ となる小さな回転 $R_{\theta_j}$ を適用することで、実固有値を強制的に導く。
• 摂動系は $\ddot{y} + \Gamma_\eta(t)\dot{y} + (\omega^2 + \epsilon \Psi_\eta(t))y = 0$ を満たし、$\eta \to 0$ のとき $\Gamma_\eta(t) \to 0$ および $\Psi_\eta(t) \to \psi(t)$ となるため、摂動が小さく物理的であることが確認される。