[論文レビュー] Perturbations of rational Misiurewicz maps

Magnus Aspenberg|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、柔軟でないラッティーズ写像を除き、リーマン球面全体と等しいジュリア集合をもつ任意の有理関数的ミシュエレヴィッチ写像が、すべての臨界点がスーパー吸引的周期軌道上にあるような双曲的有理関数的写像に、任意に近いように摂動可能であることを確立している。証明は、次元 $2d-2$ のパラメータ空間上で再帰的な摂動スキームを用い、特異点の解消とホイットニー・ディスク構成を駆使して、臨界点軌道の制御と、スーパー吸引的周期軌道への配置による双曲性の保証を実現している。

ABSTRACT

In this paper we investigate the perturbation properties of rational Misiurewicz maps, when the Julia set is the whole sphere (the other case is treated in [1]). In particular, we show that if f is a Misiurewicz map and not a flexible Lattes map, then we can find a hyperbolic map arbitrarily close to f.

研究の動機と目的

• ジュリア集合がリーマン球面全体と等しい有理関数的ミシュエレヴィッチ写像の摂動特性を調査すること。
• このような写像が、臨界点がスーパー吸引的周期軌道上にある場合に、双曲的写像によって近似可能かどうかを特定すること。
• 擬等長的剛性のため摂動が妨げられるため、柔軟ラッティーズ写像を除外すること。
• フル・ジュリア集合をもつミシュエレヴィッチ写像が、コールェット＝アインシュタイン写像のLebesgue密度点であることを確立すること。
• ミシュエレヴィッチ写像を、後期臨界的有限な双曲的写像に近似する構成的技法を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、モビウス同値類を除いた次元 $2d-2$ のパラメータ空間 $\mathcal{R}^d$ を用い、与えられたミシュエレヴィッチ写像 $f_0$ の近傍における1パラメータ族の有理関数的写像を研究する。
• 繰り返し臨界点写像 $\xi_{n,j}(a) = f_a^n(c_j(a))$ を定義し、パラメータ空間内のホイットニー部分ディスクを用いて摂動下での挙動を分析する。
• 高階の臨界点は、ヒロナカの定理に基づく特異点の解消を用いて取り扱い、臨界点の動きに対する解析的制御を保証する。
• 再帰的帰納的スキームを適用：各臨界点について、$\xi_{n+m,k}(a) - c_k(a) = 0$ の解を収縮するホイットニー・ディスク内に見つけ、臨界点がスーパー吸引的周期軌道上に到達することを保証する。
• 各段階で、1つの臨界点ずつをスーパー吸引的周期軌道上に順次配置する。各ステップで余次元が1ずつ減少する。
• このプロセスは有限回（最大 $2d-2$ 回）で終了し、元のミシュエレヴィッチ写像に任意に近い双曲的写像が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フル・ジュリア集合をもつ有理関数的ミシュエレヴィッチ写像は、双曲的写像に摂動可能か？
• RQ2 このような写像のすべての臨界点が、摂動によってスーパー吸引的周期軌道上に配置可能となる条件は何か？
• RQ3 なぜ柔軟ラッティーズ写像は摂動結果から除外されるのか？
• RQ4 パラメータ空間の構造（次元 $2d-2$）が、双曲的近似の構成をどのように可能にするのか？
• RQ5 フル・ジュリア集合をもつミシュエレヴィッチ写像の近傍に、双曲的写像の集合は稠密か？

主な発見

• 非柔軟ラッティーズ有理関数的ミシュエレヴィッチ写像で $J(f) = \hat{\mathbb{C}}$ を満たすものは、任意に近い双曲的有理関数的写像に近似可能である。
• 摂動された双曲的写像は、すべての臨界点がスーパー吸引的周期軌道上にあるように構成可能であり、これにより後期臨界的有限な力学系が保証される。
• この構成は有限かつ再帰的であり、各臨界点ごとに余次元を1ずつ減少させ、$2d-2$ 次元のパラメータ空間内で最大 $2d-2$ ステップで終了する。
• この結果により、このようなミシュエレヴィッチ写像がコールェット＝アインシュタイン写像のLebesgue密度点であることが示唆され、$J(f) = \hat{\mathbb{C}}$ が近似下でも保存されることを示す。
• ホイットニー・ディスクと特異点の解消を用いることで、高階臨界点の取り扱いが可能となり、臨界軌道の挙動に対する解析的制御が保証される。
• 柔軟ラッティーズ写像の除外は、擬等長変形が存在するため不可欠であり、これが望ましい摂動制御を妨げる。