[論文レビュー] Perturbative Derivation of Mirror Symmetry

Mina Aganagic, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Sep 17, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトなトーリックカルビ・ヤウ多様体上の2次元 ${\cal N}=(2,2)$ スーパーシュミット・モデルにおける、摂動的1ループによる鏡映性の導出を提示する。質量のあるキラル超多重項をねじれ質量を用いて統合し、ゲージ制約をラグランジュ乗数を用いて強制することで、既知の鏡理論と一致するランダウ＝ジンブルグ超ポテンシャルが得られ、非摂動的インスタントンに依存せずに、完全に摂動的手段によって鏡映性が確立される。

ABSTRACT

We provide a purely perturbative (one loop) derivation of mirror symmetry for supersymmetric sigma models in two dimensions.

研究の動機と目的

• 2次元 ${\cal N}=(2,2)$ スーパーシュミット・モデルにおける鏡映性を、バブル生成超ポテンシャルなどの非摂動的効果を避けて、完全に摂動的手段で導出すること。
• 線形シュミット・モデルにおける超ポテンシャルの摂動的1ループ計算を、ねじれ質量の摂動を含む一般化し、質量のあるキラル多重項の整合的な統合を可能とすること。
• AモデルとBモデルの間の鏡映性関係が、ねじれキラル超多重項およびラグランジュ乗数場を含む摂動的経路積分形式から導出可能であることを示すこと。
• F-term制約および補助場の周期性を用いて、元の理論の摂動的有効作用と既知のランダウ＝ジンブルグ鏡モデルとの直接的対応関係を確立すること。

提案手法

• ねじれ質量 $m_i$ を用いて、線形シュミット・モデルにおける質量のあるキラル多重項を記述するため、ねじれキラル超多重項 $\Sigma_i = Q_i \Sigma + m_i$ を導入する。
• 質量のあるキラル多重項を統合することで得られる1ループ有効超ポテンシャル $W(\Sigma) = \sum_i \Sigma_i(\log \Sigma_i - 1) + t_i \Sigma_i$ を構築する。
• ゲージ制約 $\sum_i R_i^A \Sigma_i = m^A$ を、$n-1$ 個の複素 ${{\hbox{$\vrule height=6.45831pt,width=0.4pt,depth=0.0pt\kern-3.00003pt{\tenrm C}$}}}^*$-値ラグランジュ乗数場 $Y_A$ を用いて課す。
• 経路積分を $Z(m,t) = \int \prod_{i,A} d\Sigma_i dY_A \; \exp\left( \sum_i \Sigma_i(\log \Sigma_i - 1) + t_i \Sigma_i + \sum_{A,i} Y_A (R_i^A \Sigma_i - m^A) \right)$ として書き直す。ここで $Y_A$ は $2\pi i$ を周期として周期的である。
• $\Sigma_i$ の積分を $\partial_{\Sigma_i} W = 0$ における局在化によって実行し、$Y_A$ 表記の鏡ランダウ＝ジンブルグ理論に帰着させる。
• 最終的な有効作用 $Z(m,t) = \int \prod_A dY_A \; \exp\left( -\sum_i e^{-Y_i} - \sum_A Y_A m^A \right)$ を導出する。ここで $Y_i = t_i + \sum_A R_i^A Y_A$ であり、これは既知の鏡超ポテンシャルと一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 ${\cal N}=(2,2)$ スーパーシュミット・モデルにおける鏡映性は、非摂動的インスタントンを用いずに、完全に摂動的1ループ技法によって導出可能か？
• RQ2 ねじれ質量の摂動を線形シュミット・モデルにおける超ポテンシャルの摂動的導出に整合的に組み込む方法は何か？
• RQ3 ラグランジュ乗数場 $Y_A$ は、ゲージ制約を強制し、鏡ランダウ＝ジンブルグモデルを再現するために果たす役割は何か？
• RQ4 コンパクトなリーマン面における場強度の量子化に起因する $Y_A$ の周期性が、経路積分および鏡映性に与える影響は何か？
• RQ5 本摂動的導出は[1]における非摂動的導出と同等であるか。もしそうならば、どのような意味で再解釈と見なせるか？

主な発見

• ねじれ質量を含む線形シュミット・モデルにおける摂動的1ループ超ポテンシャル計算は、$\partial_{\Sigma_i} W = 0$ における局在化によって、鏡ランダウ＝ジンブルグ理論に帰着される。
• 最終的な有効作用は $Z(m,t) = \int \prod_A dY_A \; \exp\left( -\sum_i e^{-Y_i} - \sum_A Y_A m^A \right)$ であり、ここで $Y_i = t_i + \sum_A R_i^A Y_A$ である。これは既知の鏡超ポテンシャルと一致する。
• $Y_A$ 場は ${{\hbox{$\vrule height=6.45831pt,width=0.4pt,depth=0.0pt\kern-3.00003pt{\tenrm C}$}}}^*$-値であり、周期 $2\pi i$ で周期的であり、元の理論の場強度の量子化と整合的である。
• 本導出により、カルビ・ヤウ幾何における鏡映性が、ねじれ質量およびラグランジュ乗数を用いた制約強制によって、完全に摂動的枠組みで捉えられることを示した。
• 本手法は[1]で得られた既知の鏡結果を、非摂動的効果を必要としない完全な摂動的視点から再現した。
• 元のAモデルと鏡のBモデルとの間の等価性は、摂動的経路積分を通じて確立され、鏡写像は $Y_A$ 依存の超ポテンシャルに符号化されている。