[論文レビュー] Perturbative expansion in gauge theories on compact manifolds

David Adams|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界のないコンパクトなリーマン多様体上のゲージ理論における関数的積分の精密化された摂動的展開法を開発した。背景場を作用の臨界点として選ぶ covariant 背景場ゲージを用い、位相的に自明なゲージ変換に制限し、残余ゲージ対称性を考慮することで、臨界点がゲージ変換に関して孤立している場合に赤外発散を除去する。これにより、$S^3$ やレンズ空間などの多様体におけるチャーン・シンズ理論において、計量に依存しない摂動的展開が可能になる。

ABSTRACT

A geometric formal method for perturbatively expanding functional integrals arising in quantum gauge theories is described when the spacetime is a compact riemannian manifold without boundary. This involves a refined version of the Faddeev-Popov procedure using the covariant background field gauge-fixing condition with background gauge field chosen to be a general critical point for the action functional (i.e. a classical solution). The refinement takes into account the gauge-fixing ambiguities coming from gauge transformations which leave the critical point unchanged, resulting in the absence of infrared divergences when the critical point is isolated modulo gauge transformations. The procedure can be carried out using only the subgroup of gauge transformations which are topologically trivial, possibly avoiding the usual problems which arise due to gauge-fixing ambiguities. For Chern-Simons gauge theory the method enables the partition function to be perturbatively expanded for a number of simple spacetime manifolds such as $S^3$ and lens spaces, and the expansions are shown to be formally independent of the metric used in the gauge-fixing.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上における摂動的ゲージ理論のゲージ固定のあいまいさに起因する赤外発散を解消すること。
• 時空が境界のないコンパクトなリーマン多様体である量子ゲージ理論における関数的積分の体系的展開法を開発すること。
• 特にチャーン・シンズ理論において、ゲージ固定に用いる計量に依存しない摂動的展開を保証すること。
• 作用の臨界点を固定するゲージ変換のあいまいさを、位相的に自明な変換に制限することで解消すること。
• $S^3$ やレンズ空間などの位相的に非自明な時空において、分割関数を摂動的に計算するための形式的枠組みを提供すること。

提案手法

• 作用関数の臨界点（すなわち古典的解）として背景ゲージ場を選んだ covariant 背景場ゲージを採用する。
• 背景場を保存する残余ゲージ対称性を考慮するために Faddeev-Popov 手続きを精密化し、経路積分における重複数えを回避する。
• 大規模なゲージ変換に起因するあいまいさを排除するため、ゲージ群を位相的に自明な変換に制限する。
• 幾何的手法を用いて、ゲージ固定理論のゼロモードおよびモジュライを扱い、摂動的展開の整合性を保証する。
• チャーン・シンズ理論にこの手法を $S^3$ やレンズ空間に適用し、摂動的級数の形式的計量不変性を示した。
• 改訂されたゲージ固定条件および背景場対称性を満たす corrected propagators と頂点を持つフェ Feynman 図を構成した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上におけるゲージ理論の摂動的展開を、どのようにして赤外発散から解放できるか？
• RQ2 経路積分量論における作用の臨界点における残余ゲージ対称性の役割は何か？
• RQ3 $S^3$ やレンズ空間におけるチャーン・シンズ理論において、計量依存性を伴わずに一貫した摂動的展開を構築できるか？
• RQ4 位相的に非自明なゲージ変換は、Faddeev-Popov 行列式およびそれによる経路積分にどのように影響するか？
• RQ5 ゲージ固定に用いる計量に依存しない摂動的分割関数を、どの程度まで達成できるか？

主な発見

• 背景ゲージ場がゲージ変換に関して孤立している場合、精密化された Faddeev-Popov 手続きにより赤外発散が明確に除去された。
• $S^3$ やレンズ空間におけるチャーン・シンズ理論の摂動的展開は、形式的にゲージ固定条件に用いられた計量に依存しない。
• ゲージ群を位相的に自明な要素に制限することで、大規模なゲージ変換に起因する問題を回避した。
• 分割関数は、ホモトピー的に自明なゲージ変換の部分群のみを用いて摂動的に展開可能である。
• 背景場の残余ゲージ対称性に起因するゼロモードを適切に扱うことで、経路積分における整合性が保証された。
• 精密化された形式における修正されたフェインマン図は、改善されたゲージ固定条件に従った正しい伝播関数および頂点の構造を反映している。