[論文レビュー] Perturbative Expansions in QCD Improved by Conformal Mappings of the Borel Plane

I. Caprini, Ján Fischer+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 50被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、因子的発散を制御するため、Borel平面の自己同型写像を用いたQCD相関関数の新しい摂動的展開を提案する。Borel平面を特異点を最適に写像するように変換することで、元の相関関数がαs=0で示す特異的挙動を継承する新しい展開関数を定義し、収束性が著しく向上し、系列の発散とリノルムの不確実性が明確に分離される。この手法は、アーディン関数のモデルにおいて実証的に成功している。

ABSTRACT

Perturbation expansions appear to be divergent series in many physically interesting situations, including in quantum field theories like quantum electrodynamics (QED) and quantum chromodynamics (QCD), where the perturbative coefficients exhibit a factorial growth at large orders. While this feature has little impact on physical predictions in QED, it can have nontrivial consequences in applications of perturbative QCD at moderate energies. In particular, it affects the theoretical error in the extraction of the strong coupling $α_s$ from hadronic $τ$ decays, despite progress of perturbative calculations available at present to four loops. We discuss a new type of perturbative expansion for QCD correlators, which uses instead of the standard powers of the coupling a new set of expansion functions. These functions are defined by means of an optimal conformal mapping of the Borel complex plane, which implements the known features of the high-order divergence in terms of the lowest Borel-plane singularities. The properties of the expansion functions resemble those of the expanded correlators, by exhibiting in particular the singular behaviour of the correlators at $α_s=0$. We prove the good convergence properties of the new expansions on mathematical models that simulate the physical polarization function for light quarks and its derivative (the Adler function), in various prescriptions of renormalization-group summation.

研究の動機と目的

• 高次のループ計算がなされているにもかかわらず、τ崩壊からのαsの抽出精度を制限する摂動的QCD系列の発散性を是正すること。
• 標準的なべき級数展開における係数の因子的成長と赤外線リノルムによる収束性の悪さと内在的不確実性を克服すること。
• QCD相関関数の解析的構造をよりよく反映するため、Borel平面の自己同型写像を用いた新しい展開フレームワークを構築すること。
• 摂動的系列の内在的発散と赤外線リノルムによる物理的不確実性を分離し、理論的不確実性の解釈を明確にすること。

提案手法

• Borel変換の解析的領域を単位円板に最適に写像するための自己同型写像をBorel複素平面に適用し、変換された系列の収束半径を最小化する。
• 写像されたBorel変換のラプラス-Borel積分により新しい展開関数を定義し、元の相関関数がαs=0で示す特異的挙動を継承する。
• αsのべき級数ではなく、これらの自己同型写像された関数のべき級数として新しい摂動的展開を構築し、再展開によって既知のフェニマン図の係数が再現されることを保証する。
• 新しい展開と併せて走線群の和算を用い、特にアーディン関数に対して複素エネルギー平面における収束性をテストする。
• Borel平面内の主要な特異点が単位円上に写像されるように自己同型写像を実装し、収束速度を最大化する。
• QCD極化関数およびその微分（アーディン関数）の数学的モデルに対して、さまざまな正規化規約の下で収束性を比較して手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Borel平面の自己同型写像は、QCD相関関数の発散的摂動的展開の収束性を顕著に改善できるか？
• RQ2 新しい展開は、系列の内在的発散と赤外線リノルムによる物理的不確実性を分離できるか？
• RQ3 新しい展開関数は、αs=0における特異点に関して、元の相関関数とどのように振る舞うか？
• RQ4 αsのべき級数に再展開した際に、新しい系列が既知の摂動的係数をどの程度正確に再現するか？
• RQ5 走線群の和算は、複素エネルギー平面における新しい展開の収束性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 数学的モデルにおけるアーディン関数において、わずか数項でさえも、新しい展開が顕著に改善された収束性を示す。
• 自己同型写像により、Borel平面の解析的領域が単位円板にうまく写像され、最適な収束性が達成された。
• 新しい展開関数はαs=0で特異的であり、αsに関するべき級数は発散するが、物理的相関関数の挙動を正確に再現する。
• 係数の因子的発散と赤外線リノルムによる物理的不確実性が分離され、後者が真の非摂動的効果である可能性が示唆された。
• αsのべき級数に再展開した場合、新しい系列は4ループまで既知の摂動的係数を再現し、標準的QCD計算と整合性があることが確認された。
• この手法により、発散する系列と物理的不確実性が概念的に明確に分離されたフレームワークが得られ、QCDにおけるリジューレンスとトランスシリーズ解釈を支持するものとなった。