[論文レビュー] Perverse Bundles and Calogero-Moser Spaces

Dani Ben‐Zvi, Thomas Nevins|ArXiv.org|Oct 3, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな複素曲線上の捩れのない ${\mathcal{D}}$-バンドルのモジュライ空間と、捩れ層のモジュライ上の歪みたコタングェントバンドルの間の幾何的対応を確立し、Weyl代数のイデアルのCalogero-Moserクiver多様体記述を一般化する。非可換Beilinson変換とKoszul双対性を用いて、曲線 $X$ 上の $n$ パarticle の有理的Calogero-Moser空間が、第二チエーン類 $n$ の自明にフレームされた ${\mathcal{D}}$-ラインバンドルのモジュライ空間として特定され、Ginzburgの問いに答えを提示する。

ABSTRACT

We present a simple description of moduli spaces of torsion-free D-modules (``D-bundles'') on general smooth complex curves X, generalizing the identification of the space of ideals in the Weyl algebra with Calogero-Moser quiver varieties. Namely, we show that the moduli of D-bundles form twisted cotangent bundles to stacks of torsion sheaves on X, answering a question of Ginzburg. The corresponding (untwisted) cotangent bundles are identified with moduli of ``perverse vector bundles'' on T^*X, which contain as open subsets the moduli of framed torsion-free sheaves (the Hilbert schemes (T^*X)^[n] in the rank one case). The proof is based on the description of the derived category of D-modules on X by a noncommutative version of the Beilinson transform on the projective line.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}^2$ 上のヒルベルトスキームとCalogero-Moser空間の同定を、高種数の曲線へ一般化すること。
• Weyl代数のイデアルに対するBerest-Wilson定理の高種数版に関するGinzburgの問いを解明すること。
• 導来カテゴリと非可換幾何学を用いて、滑らかな曲線上の捩れのない ${\mathcal{D}}$-加群のモジュライ空間を記述すること。
• ホモトピー型のKoszul複体を通じて、${\mathcal{D}}$-バンドルとCalogero-Moser関係を満たすクiverデータの間の対応を確立すること。

提案手法

• 曲線 $X$ 上の ${\mathcal{D}}$-加群の導来カテゴリを記述するため、$\mathbb{P}^1$ 上の非可換Beilinson変換を用いる。
• ${\mathcal{D}}$-バンドル構造から、$\mathcal{D}^1$-加群と $\mathbb{C}[x]$-加群の複体を通じてKoszulデータを構成する。
• ホモトピー論を適用し、各 ${\mathcal{D}}$-バンドルが関係 $[X,Y] + ij = I$ を満たす一意な四重組 $(X,Y,i,j)$ に対応することを示す。
• ハミルトニアン還元を用いて、${\mathcal{D}}$-バンドルのモジュライを、捩れ層のモジュライ上の歪みたコタングェントバンドルとして特定する。
• コンパクト化されたコタングェントバンドル $S = \mathbb{P}(T_X \oplus \mathcal{O}_X)$ 上の perverse ベクトル束を用いて、フレーム付き捩れのない層のモジュライを実現する。
• Calogero-Moser空間 $\mathsf{CM}_n(X)$ が、第二チエーン類 $n$ の自明にフレームされた ${\mathcal{D}}$-ラインバンドルのモジュライ空間として特定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weyl代数のイデアルのモジュライ空間を、高種数の曲線へどのように一般化できるか。
• RQ2 滑らかな曲線 $X$ 上の捩れのない ${\mathcal{D}}$-加群のモジュライ空間の幾何的構造は何か。
• RQ3 曲線 $X$ 上のCalogero-Moser空間 $\mathsf{CM}_n(X)$ は、${\mathcal{D}}$-バンドルの幾何とどのように関係するか。
• RQ4 非可換Beilinson変換を用いて、クイバー的なデータを通して曲線上の ${\mathcal{D}}$-加群を記述できるか。
• RQ5 $\mathsf{CM}_n(X)$ と第二チエーン類 $n$ のフレーム付き ${\mathcal{D}}$-ラインバンドルとの間の正確な対応は何か。

主な発見

• 滑らかな曲線 $X$ 上の $n$ パarticle の有理的Calogero-Moser系のモジュライ空間 $\mathsf{CM}_n(X)$ は、第二チエーン類 $n$ の自明にフレームされた ${\mathcal{D}}$-ラインバンドルのモジュライ空間として特定され、Ginzburgの問いに答えを提示する。
• 曲線 $X$ 上の捩れのない ${\mathcal{D}}$-バンドルのモジュライは、長さ $n$ の捩れ層のモジュライ上の歪みたコタングェントバンドルをなすことが示され、古典的 $\mathbb{C}^2$ 場合の一般化となる。
• $\mathsf{CM}_n(X)$ は、$T^*Q_n(X)$ の単位元におけるハミルトニアン還元として実現され、ここで $Q_n(X)$ は $Q$ を長さ $n$ の捩れ層とするペア $(\mathcal{O}_X^n \to Q, i \in H^0(Q))$ をパラメトライズする。
• Koszul双対性の構成により、${\mathcal{D}}$-バンドルと関係 $[X,Y] + ij = I$ を満たす四重組 $(X,Y,i,j)$ の間の全単射対応（ホモトピー型を除く）が得られる。
• 各Koszルデータのホモトピー型は一意なCM四重組に対応し、ホモトピーで商をとった後は双対性が成立し、分類が証明される。
• 捩れのないコタングェントバンドルは、$\mathbb{P}(T_X \oplus \mathcal{O}_X)$ 上の perverse ベクトル束のモジュライと特定され、特にランク1の場合にヒルベルトスキーム $T^*X^{[n]}$ が開部分集合として含まれる。