[論文レビュー] Perverse coherent sheaves (after Deligne)

Roman Bezrukavnikov|arXiv (Cornell University)|May 16, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 68

ひとこと要約

この論文は、双対化複体を備えたノエター的スキーム上の連接層の導来カテゴリにおけるデリーニの未発表の perverse t-構造の構成を解説している。これは、BBD枠組みを連接層へと拡張するものであり、主な貢献は、perversity関数が単調および余単調である場合にそのような t-構造の存在を示したことである。特に、半単純群のノルム的コーン上での G-不変層への応用があり、この場合、コアカテゴリはアルティン的となり、不変ベクトルバンドルの最小拡張として得られる既約対象が現れる。

ABSTRACT

This note is mostly an exposition of an unpublished result of Deligne, which introduces an analogue of perverse $t$-structure on the derived category of coherent sheaves on a Noetherian scheme with a dualizing complex. Construction extends to the category of coherent sheaves equivariant under an action of an algebraic group; though proof of the general statement in this case does not require new ideas, it provides examples (such as sheaves on the nilpotent cone of a semi-simple group equivariant under the adjoint action) where construction of coherent "intersection cohomology" sheaves works.

研究の動機と目的

• 双対化複体を備えたスキーム上の構成可能層から連接層への perverse sheaf 理論の拡張。
• 連接設定における引き戻し関手が随伴を欠くという課題を、j! をコhomologyが有界な拡張に置き換えることで解決。
• 連接設定における t-構造の存在を保証する条件を確立、特に perversity 関数の単調性および余単調性。
• 最小拡張関手 j!∗ の存在を示し、厳密な単調性のもとで不変設定におけるアルティン的構造を導出。
• 幾何的表現論における連接交差コホモロジー層の構成フレームワークを提供、特にノルム的コーン上で。

提案手法

• 連接設定における滑らかさ条件の欠如のため、stratum ではなく、既約部分多様体の一般点に perversity 関数を定義。
• 構成可能設定における左随伴 j! を、F̃|X−U が perversity に依存する次数より上ではコホモロジーが消えるような、F から X への任意の拡張 F̃ に置き換える。
• グローテンディーク＝セール双対性を用いて、連接設定における j* の代わりを構成し、これには perversity 関数が余単調であることが必要。
• t-構造が存在するのは、perversity 関数が単調かつ余単調である場合に限られ、そのときには切り捨て関手が D^b(Coh) に値をとることを保証。
• j! や j* に依存しないように、BBD における標準的 t-構造の証明を、有界な拡張と双対性を用いて連接設定へと適応。
• G-不変連接層に形式的枠組みを適用し、perversity は G-軌道の一般点にのみ割り当てられ、厳密な単調性のもとで最小拡張 j!∗ が存在する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成可能設定に類似した、連接層の導来カテゴリにおける perverse t-構造を定義できるか？
• RQ2 なぜ標準的 t-構造の構成は連接設定で失敗するのか？ そして、どのように修正できるか？
• RQ3 perversity 関数にどのような条件を課すと、切り捨て関手が D^b(Coh) に値をとるのか？
• RQ4 連接不変設定における最小拡張関手 j!∗ が存在する条件は何か？
• RQ5 perversity t-構造のコアがいつアルティン的になるのか？ そして表現論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ノエター的スキーム X が双対化複体を備えるとき、perversity 関数が単調かつ余単調であれば、D^b(Coh(X)) に perverse t-構造が存在する。
• この構成では j! をコホモロジーが有界な拡張に置き換えることで、連接設定における j* の左随伴が存在しないという問題を回避する。
• G-不変設定では、最小拡張関手 j!∗ が存在するための必要十分条件は、perversity 関数が厳密に単調かつ余単調であることであり、これは次第に次元が2以上離れた軌道が有限個であることを要請する。
• perversity 関数が厳密に単調かつ余単調であれば、コアカテゴリ P^G はアルティン的となり、すべての対象が有限長を持つ。
• コア内の既約対象は、すべての G-不変ベクトルバンドル L に対して j!∗(L[p(O)]) の形の最小拡張に一致する。
• 特異的零点集合（半単純群のノルム的コーン）の例では、中間 perversity p(x_O) = -dim(O)/2 が条件を満たし、アルティン的コアをもたらす。これは根の単位根における量子群と関連する。