[論文レビュー] Perverse coherent sheaves and Fourier-Mukai transforms on surfaces

Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

advanced mathematical theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有理二重点の解消の文脈において、 perverse coherent sheaves を導入することで、K3 および楕円曲面におけるFourier-Mukai双対性の一般化を確立する。解消上の普遍族が、導来カテゴリの同値を誘導することを示し、古典的双対性を拡張するとともに、Gieseker安定性を保ち、モジュライ空間および双有理幾何における壁越え現象への応用をもたらす。

ABSTRACT

We study perverse coherent sheaves on the resolution of rational double points. As examples, we consider rational double points on 2-dimensional moduli spaces of stable sheaves on K3 and elliptic surfaces. Then we show that perverse coherent sheaves appears in the theory of Fourier-Mukai transforms. As an application, we generalize the Fourier-Mukai duality for K3 surfaces to our situation.

研究の動機と目的

• 非一般的極化における有理二重点からの特異モジュライ空間へ、Fourier-Mukai双対性を一般化すること。
• 非一般的極化によってモジュライ空間が特異的になる場合に、 perverse coherent sheaves が Fourier-Mukai 変換において自然に生じることを示すこと。
• 次元 0 の perverse coherent sheaves のモジュライ空間を構成し、壁越え現象と関連付けること。
• 非一般的設定において、 perverse sheaves を用いて、Fourier-Mukai 変換による安定性の保存を一般化すること。
• 特異曲面上の perverse coherent sheaves と代数層の層 A 間の Morita 同値を確立し、導来同値性の結果を得ること。

提案手法

• 有理二重点の解消における Bridgeland の perverse coherent sheaves の概念を用い、特異曲面上に新しいアーベル圏を定義する。
• Morita 同値を用いて、解消上の perverse coherent sheaves を特異基底上の非可換代数の加群と関連付ける。
• モジュライ理論における壁越え技法を用い、 perverse sheaves と K3 や楕円曲面上の古典的安定層との関係を明らかにする。
• ねじれ Quot-スキームと Simpson の構成を用いて、次元 0 の perverse coherent sheaves のモジュライ空間を構成し、射影的であることの証明を行う。
• 解消上の普遍族を用いて、導来カテゴリ間の同値を誘導する Fourier-Mukai 変換を定義する。
• スペクトル系列と相対的正則性を用いて、変換の正確性および導来的性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一般的極化によってモジュライ空間が特異的になる場合、 perverse coherent sheaves は Fourier-Mukai 変換枠組みにおいてどのように生じるか？
• RQ2 解消上の perverse coherent sheaves と、K3 や楕円曲面上の元の安定層のモジュライとの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 K3 曲面上の古典的 Fourier-Mukai 双対性は、 perverse sheaves を用いて非一般的極化へ拡張可能か？
• RQ4 解消上の普遍族が誘導する導来カテゴリ同値は、 perverse coherent sheaves のモジュライ空間の構造とどのように関係するか？
• RQ5 非可換代数層 A は、 perverse sheaves と A-加群の間の同値を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 解消 $X'$ 上の普遍族は、導来カテゴリ $D^b(X)$ と $D^b(X')$ 間の同値を誘導する Fourier-Mukai 変換を定める。これは古典的双対性を一般化する。
• 解消上の perverse coherent sheaves は、安定 perverse coherent sheaves の普遍族であることが示され、変換が Gieseker 安定性条件を保つ。
• 次元 0 の perverse coherent sheaves のモジュライ空間は、ねじれ Quot-スキームと Simpson のモジュライ構成を用いて射影的スキームとして構成される。
• 解消上の perverse coherent sheaves の圏と、特異曲面上の代数層の層 A 上の加群の圏との間で Morita 同値が確立される。
• 本稿は、[Y5] および [H] の結果を拡張し、非一般的極化においても Fourier-Mukai 変換による安定性の保存を一般化する。
• 壁越え現象を用いて、 perverse coherent sheaves のモジュライと通常の安定層のモジュライとを関連づけ、特に $K3$ および楕円曲面の文脈で有効である。