[論文レビュー] Perverse coherent sheaves on blow-up. I. a quiver description

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|ArXiv.org|Feb 21, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、射影平面の爆発上の perverse な連接層のモジュライ空間について、クーヴァ理論的記述を提供し、特定の安定性チャネルにおいて、これらのモジュライ空間が元の表面上の局所自由層のモジュライ空間に同型であることを確立している。主な貢献は、$(\zeta_0, \zeta_1)$ でパrameter化される安定性条件を伴うクーヴァ表現を用いて、ブリッジランドの perverse $t$-構造の幾何的実現を達成したことである。ここで、チャネル $\zeta_0 < 0, \zeta_1 < 0$ は perverse な連接層に対応し、$\mathbb{P}^2$ 上のモジュライ空間への同型を与える。これは、極化の変更に類似したウォールクロッシング現象を示している。

ABSTRACT

This is the first of two papers studying moduli spaces of a certain class of coherent sheaves, which we call {\it stable perverse coherent sheaves}, on the blowup of a projective surface. They are used to relate usual moduli spaces of stable sheaves on a surface and its blowup. In this first part, we give a quiver (or ADHM) description of moduli spaces for framed perverse coherent sheaves on the blowup of the projective plane.

研究の動機と目的

• 爆発された $\mathbb{P}^2$ 上の perverse 連接層のモジュライ空間について、クーヴァ理論的記述を提供すること。
• フレーム付き層のモジュライ空間の安定性チャネル遷移を用いて、$\widehat{\mathbb{P}}^2$ 上のものと $\mathbb{P}^2$ 上のものとの関係を特定すること。
• $\zeta_0 < 0, \zeta_1 < 0$ のチャネルにおいて、フレーム付き perverse 連接層のモジュライ空間が $\mathbb{P}^2$ 上のフレーム付き局所自由層のモジュライ空間に同型であることを確立すること。
• 爆発の導来カテゴリ−にブリッジランドの $t$-構造を文脈として、安定性条件の役割を明確にすること。

提案手法

• 幾何的不変式理論（GIT）商を用いて、$\widehat{\mathbb{P}}^2$ 上のフレーム付き層を関係を持つクーヴァの表現として表現すること。
• 安定性空間内の異なるチャネルをパrameter化するための2パラメータ安定性条件 $\zeta = (\zeta_0, \zeta_1)$ を導入すること。
• $\zeta_0 < 0, \zeta_1 < 0$ のチャネルが、$\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_C, E)$ と $\operatorname{Hom}(E(-C), \mathcal{O}_C)$ の消失により、perverse 連接層に対応することを同定すること。
• クーヴァ表現を用いて、このチャネルで $d$ が全射であることを示し、フレーム次元 $k=0$ を示すこと。
• $^{0}\zeta$-安定表現のモジュライ空間から $\mathbb{P}^2$ 上の局所自由層のモジュライ空間への準同型を構成し、$k=0$ のとき同型であることを証明すること。
• $m\zeta_0 + (m+1)\zeta_1 = 0$ で定義されるウォールを越えるときのウォールクロッシングの挙動を分析し、$\mathcal{O}_C(-m-1)$ を含む拡張に対応させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 爆発された $\mathbb{P}^2$ 上の perverse 連接層は、安定性条件を伴うクーヴァ表現によってどのように記述できるか？
• RQ2 $\widehat{\mathbb{P}}^2$ 上のフレーム付き層のモジュライ空間と $\mathbb{P}^2$ 上のものとの間には、どのような幾何的関係があるか？
• RQ3 安定性パrameter空間のどのチャネルにおいて、perverse 連接層のモジュライ空間が $\mathbb{P}^2$ 上の局所自由層のモジュライ空間に同型になるか？
• RQ4 安定性パrameter空間内のウォールクロッシング構造は、爆発の幾何と導来カテゴリ−とどのように関係しているか？
• RQ5 フレームは、perverse 連接層に対応する安定性条件を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• $k=0$ のとき、$^{0}\zeta$-安定表現のモジュライ空間 $\widehat{M}_{{}^{0}\zeta}(r,0,n)$ は、$\mathbb{P}^2$ 上の局所自由層のモジュライ空間 $M(r,n)$ に同型である。これは、同型 $d$ を通じた逆構成の存在によって示された。
• $\zeta_0 < 0, \zeta_1 < 0$ のチャネルにおいて、準同型 $\widehat{M}_{{}^{0}\zeta}(r,k,n) \to M(r,\dim V_0)$ は適切に定義され、$d$ が全射であるため、$k > 0$ のとき $\widehat{M}_{{}^{0}\zeta}(r,k,n) = \emptyset$ である。
• ウォール $m\zeta_0 + (m+1)\zeta_1 = 0$ は、$\mathcal{O}_C(-m-1)^{\oplus p}$ を含む拡張に対応し、それを越えると拡張列における核と余核の役割が入れ替わる。
• $\zeta_0 + \zeta_1 = 0$ に隣接するチャネルは、$\widehat{\mathbb{P}}^2$ 上のフレーム付き局所自由層に対するキングの安定性条件に対応し、そのモジュライ空間はフレーム付きモジュライ空間のウーレンバックコンパクト化に同型である。
• $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_C, E) = 0$ は、$p_*E$ が爆発点で局所自由であることに同値であり、この条件は $\mathcal{O}(-mC)$ による捻りによっても保たれる。
• クーヴァ記述は、パrameter化された安定性を伴うGIT商を用いて、$\mathrm{D}^b(\mathrm{Coh}(\widehat{\mathbb{P}}^2))$ 上のブリッジランドの perverse $t$-構造を実現し、perverse 連接層がこの枠組みの中で自然に生じることを示している。