[論文レビュー] Perverse schobers and wall crossing

Will Donovan|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、GITの壁交叉に対して、球体的ペアを用いて、三角的圏のカテゴリフィケッド perverse ファイバー（ perverse schobers ）を、ディスク上に構成する。この構成により、GIT商間の導来同値性を記述する。主な貢献は、複素化されたグロテンディーク群が交差コホモロジー複体をなすための条件を同定することであり、これにより、カテゴリカルなモノドロミーと幾何的壁交叉現象を結びつける。

ABSTRACT

For a balanced wall crossing in geometric invariant theory, there exist derived equivalences between the corresponding GIT quotients if certain numerical conditions are satisfied. Given such a wall crossing, I construct a perverse sheaf of categories on a disk, singular at a point, with half-monodromies recovering these equivalences, and with behaviour at the singular point controlled by a GIT quotient stack associated to the wall. Taking complexified Grothendieck groups gives a perverse sheaf of vector spaces: I characterise when this is an intersection cohomology complex of a local system on the punctured disk.

研究の動機と目的

• 代数幾何における双有理変換を perverse schobers を用いて理解するためのカテゴリカルな枠組みを確立すること。
• GITの壁交叉における導来同値性を、ディスク上の圏の層的構造へ一般化すること。
• このような層のグロテンディーク群が交差コホモロジー複体をなすための条件を同定すること。
• カテゴリカルな設定におけるモノドロミー関手を、フロップや壁交叉における既知の導来同値性と関連付けること。
• 数値的条件を満たすバランスの取れた壁交叉から、球体的ペアを体系的に構成すること。

提案手法

• 導来カテゴリのGIT商と、半安定不変量の部分圏を用いて、特異点を一点にもつディスク上の圏の perverse ファイバーを構成する。
• 球体的ペアを、スケルトンに二つの弧を持つ perverse ファイバーのカテゴリフィケーションとして定義し、中心圏への圏の埋め込みを符号化する。
• Halpern-Leistner および Ballard–Favero–Katzarkov の結果を適用し、数値的条件を満たす場合に $X//_{\text{--}}G$ と $X//_{+}G$ 間の導来同値性を保証する。
• 複素化されたグロテンディーク群を用いてベクトル空間の層を構成し、それが交差コホモロジー複体と同型となる条件を同定する。
• 球体的関手およびそのねじれを用いて、モノドロミー作用をカテゴリカルに回復する。
• コーサル解体とK理論の計算を用いて、モノドロミー作用素のランクを解析し、不等式の飽和性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GITの壁交叉から生じる球体的ペアのグロテンディーク群が、交差コホモロジー複体をなすのはいつか？
• RQ2 GIT商間の導来同値性は、どのように perverse schober 内のモノドロミー関手としてカテゴリカルに符号化できるか？
• RQ3 壁交叉にどのような条件を課すと、関連する球体的ペアが適切に振る舞うモノドロミー作用を誘導するか？
• RQ4 中心圏のグロテンディーク群が交差コホモロジー複体をなさないのはどのような場合か？
• RQ5 球体的関手およびそのねじれは、フロップの文脈でどのようにカテゴリカルモノドロミーを回復するか？

主な発見

• 一パrameter部分群を伴う単純なバランスの取れた壁交叉に対して、数値的条件を満たす場合、GIT商 $X//_{\text{--}}G$ と $X//_{+}G$ の導来カテゴリは同値である。
• 構成により、球体的ペア $(\text{D}(X//_{\text{--}}G), \text{D}(X//_{+}G), \text{C})$ が得られ、ここで $\text{C}$ は $\text{D}(X^{\text{ss}}(\text{M}_0)/G)$ の部分圏であり、球体的ペアの公理を満たす。
• 球体的ペアの複素化されたグロテンディーク群が、穿孔されたディスク上の局所系統の交差コホモロジー複体と同型であるための必要十分条件は、中心圏のK理論におけるモノドロミーから単位元を引いたもののランクが飽和していることである。
• $\mathbb{C}^*$-作用を伴う $X = V \bigoplus \det V^\vee$ の場合、グロテンディーク群は交差コホモロジー複体をなす。これは、飽和条件を満たす。
• $\mathbb{C}^*$-作用を伴う $X = V \bigoplus V^\vee$ の場合、グロテンディーク群は交差コホモロジー複体をなさない。これは、モノドロミーのランク条件が飽和していないためであり、$\text{rk}(m - \mathds{1}) = 0$ であるのに対し、$\dim \text{K}(\mathcal{D}) = 1$ である。
• グロテンディーク群上のモノドロミー作用は、球体的関手の余ねじれを用いてカテゴリカルに実現され、そのランクが交差コホモロジーの特徴付けにおける不等式の飽和性を決定する。