[論文レビュー] Perverse sheaves and quantum Grothendieck rings

Michela Varagnolo, Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2001

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特異なクイバー多様体上の perverse sheaves を用いて、量子アフィン代数の有限次元表現のグロテンディーク環の幾何的実現を構成し、標準基底を有する非可換平坦変形 ${\mathbb{G}}{\mathbb{R}}$ を導入する。主な結果として、この環が量子グロテンディーク環に同型であることが同定され、ルスティグの制限函手と標準基底を通じてテンソル積分解因子を理解するための幾何的枠組みが提供される。

ABSTRACT

We define a quantum analogue of the Grothendieck ring of finite dimensional modules of a quantum affine algebra of simply laced type. The construction is based on perverse sheaves on a variety related to quivers. We get also a new geometric construction of the tensor category of finite dimensional modules of a finite dimensional simple Lie algebra of type A-D-E.

研究の動機と目的

• 量子アフィン代数の有限次元表現のグロテンディーク環を perverse sheaves を用いて幾何的に構成すること。
• 幾何的積構造を介して、グロテンディーク環の非可換平坦変形 ${\mathbb{G}}{\mathbb{R}}$ を定義すること。
• ${\mathbb{G}}{\mathbb{R}}$ に、予想されるフィルトレーションのもとで単純加群に対応する標準基底を確立すること。
• 幾何的手法を用いて、ベレンシュタイン＝ツェレヴィンスキーの予想における標準基底の乗法的性質を一般化すること。
• 有限次元 ${\mathbb{U}}$-加群のテンソルカテゴリを特異な多様体上の perverse sheaves と、予想的にはラングランズ双対群のアフィングラスマンニアンと関連付けること。

提案手法

• 前プレジョイド代数の表現をパラメトライズする特異なクイバー多様体 $N_\lambda$ を構成し、重みでインデックス付けられたストラティフィケーションを持つこと。
• $N_\lambda$ 上の perverse sheaves の圏 ${{}^{a}}{\Cal{P}}_\lambda$ を定義し、標準的および既約対象 ${{}^{a}}IC_{{\lambda}+{\beta},{\beta}}$ と ${{}^{a}}L_{{\lambda}+{\beta},{\beta}}$ の族を備えること。
• ルスティグの制限函手 ${{}^{a}}p_{{\lambda}{\beta}}$ を用いて、グロテンディーク群 $\mathbb{A}$ 上の積構造を定義し、帰納極限上に環構造を誘導すること。
• グロテンディーク群の射影的系 $\mathbb{K}({{}^{a}}{\Cal{P}}_\lambda)$ を導入し、$\mathbb{A}$ を極限の双対として定義し、二つの基底 $({\mathbb{b}}_\lambda)$ と $({\mathbb{c}}_\lambda)$ を備えること。
• クイバー多様体の図式におけるベースチェンジを介して、制限写像 $\roman{res}^\pm_\gamma$ を定義し、双対性および射影的系と整合すること。
• 環同型 $\mathbb{A} \xrightarrow{\sim} \mathbb{R}(\underline{{\mathfrak{g}}})$ を確立し、標準基底 $\mathbb{b}_\lambda$ を単純加群の類 ${{\underline{V}}}(\lambda)$ に送ることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アフィン代数の有限次元表現のグロテンディーク環は、特異なクイバー多様体上の perverse sheaves を用いてどのように幾何的に実現可能か？
• RQ2 量子グロテンディーク環における標準基底の幾何的意味は何か。また、テンソル積分解因子とどのように関係するか？
• RQ3 アフィンヘッケ代数における単純加群の誘導積は、 perverse sheaves 上の幾何的積構造へどのように持ち上げられるか？
• RQ4 perverse sheaves 上の制限函手は、量子アフィン代数におけるテンソル積の重複度に関する情報をどのように符号化するか？
• RQ5 有限次元 ${\mathbb{U}}$-加群のテンソルカテゴリは、ラングランズ双対群のアフィングラスマンニアン上の perverse sheaves のカテゴリと、幾何的にどのように関連付けることができるか？

主な発見

• 有限次元 ${\mathbb{U}}$-加群のグロテンディーク環 $\mathbb{R}(\underline{{\mathfrak{g}}})$ は、特異なクイバー多様体上の perverse sheaves から構成された環 $\mathbb{A}$ に同型である。
• ${\mathbb{A}}$ 内の標準基底 $({\mathbb{b}}_\lambda)$ は、この同型のもとで単純加群の類 ${{\underline{V}}}(\lambda)$ に対応する。
• 標準基底は、重み多重度と双対基底を結ぶ恒等式 $\mathbb{b}_\lambda = \sum_\mu \dim {{\underline{V}}}(\lambda)_\mu \cdot \mathbb{c}_\mu$ を満たす。
• $\roman{res}^+_{\gamma}$ は、標準基底要素 $\mathbb{b}_\gamma$ を $\bigoplus_\lambda \mathbb{N}[v^{-1},v] \cdot \mathbb{b}_\lambda$ 内の要素に送り、分解における正の性質を示している。
• $\gamma \in G_\lambda^{\vee,\text{ad}}$ に対して、双対基底の制限は $\roman{res}(\mathbb{c}_\gamma) = v^{\varepsilon_\gamma} \mathbb{c}_\lambda$ を満たし、双対性および重みフィルトレーションと整合している。