[論文レビュー] Perverse sheaves on Grassmannians, Springer fibres and Khovanov homology

Catharina Stroppel|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、gl(n,C) の最大極大放物的部分代数の主ブロックの中心と、それに対応するスプリンガー被覆のコホモロジー環との間に自然な同型を確立する。このカテゴリーの図式的記述を提供し、Khovanovの代数 H^n がグレイスマンアンの perverse sheaves 圏における特定の対象の自己準同型環として同定されることを示し、Khovanovホモロジーを category O からのより一般的な函手的不変量の制限として実現する。

ABSTRACT

For a fixed parabolic subalgebra p of gl(n,C) we prove that the centre of the principal block O(p) of the parabolic category O is naturally isomorphic to the cohomology ring of the corresponding Springer fibre. We give a diagrammatic description of O(p) for maximal parabolic p and give an explicit isomorphism to Braden's description of the category Perv_B(G(n,n)) of perverse sheaves on Grassmannians. As a consequence Khovanov's algebra H^n is realised as the endomorphism ring of some object from Perv_B(G(n,n)) which corresponds under localisation and the Riemann-Hilbert correspondence to a full projective-injective module in the corresponding category $O(p)$. From there one can deduce that Khovanov's tangle invariants are obtained from the more general functorial invariants involving category O by restriction.

研究の動機と目的

• 最大極大放物的部分代数 p に対する主ブロック O(p) の中心と、それに対応するスプリンガー被覆のコホモロジー環との間の自然な同型を確立すること。
• 最大極大放物的 p に対する O(p) カテゴリーの図式的記述を提供すること。
• Khovanov の代数 H^n がグレイスマンアン上の perverse sheaves 圏における自己準同型環として実現されることを示すこと。
• Khovanov のトゥール・不変量が、category O からのより一般的な函手的不変量の制限として生じることを示すこと。

提案手法

• gl(n,C) の表現論を用いて、固定された放物的部分代数 p に対する主ブロック O(p) の構造を解析すること。
• スプリンガー被覆の幾何学を活用し、そのコホモロジー環と O(p) の中心との関係を特定すること。
• 最大極大放物的と関連する組合せ的構造を用いて、O(p) の図式的モデルを構築すること。
• ブラデンによるグレイスマンアン上の perverse sheaves の記述を応用し、O(p) の対象と Perv_B(G(n,n)) の対象との間の対応を特定すること。
• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて、O(p) 内の射影的・インジェクティブな加群とグレイスマンアン上の perverse sheaves の間の関係を確立すること。
• Khovanov の代数 H^n と、Perv_B(G(n,n)) 内の特定の対象の自己準同型環との同型を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主ブロックの放物的 category O の中心は、スプリンガー被覆のコホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ2 最大極大放物的 p に対する category O(p) は図式的に記述可能か？
• RQ3 Khovanov の代数 H^n は、グレイスマンアン上の perverse sheaves としてどのように幾何学的に実現されるか？
• RQ4 Khovanov のトゥール不変量は、category O からのより一般的な函手的不変量とどのように関係しているか？
• RQ5 リーマン＝ヒルベルト対応は、category O とグレイスマンアン上の perverse sheaves の間の接続において、どのように機能するか？

主な発見

• 主ブロック O(p) の中心は、対応するスプリンガー被覆のコホモロジー環と自然に同型である。
• 最大極大放物的 p に対する O(p) の図式的記述が構成され、これはブラデンによるグレイスマンアン上の perverse sheaves の記述と一致する。
• Khovanov の代数 H^n は、グレイスマンアン上の perverse sheaves 圏 Perv_B(G(n,n)) 内の特定の対象の自己準同型環として実現される。
• この対象は、局所化およびリーマン＝ヒルベルト対応の下で、O(p) 内の完全な射影的・インジェクティブな加群に対応する。
• Khovanov のトゥール不変量は、category O を通じて定義されたより一般的な函手的不変量の制限として得られる。
• 幾何学的およびカテゴリー的構造により、スプリンガー理論と perverse sheaves を通じて、Khovanov ホモロジーが表現論と代数幾何学に統合される。