[論文レビュー] Pesin set, closing lemma and shadowing lemma in C 1 non-uniformly hyperbolic systems with limit domination

Wenxiang Sun, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、極限支配下における$C^1$非一様双曲的系において、新しいペジン集合を導入し、$C^{1+\alpha}$設定と類似した閉じる補題とシャドウイング補題を可能にする。また、周期的測度が$\mu$-全測度集合に台を持つすべての不変測度を近似可能であることを確立し、弱い支配条件の下で、古典的ペジン理論の結果を$C^1$設定に拡張する。

ABSTRACT

For a $C^1$ diffeomorphism, we construct a new type of Pesin blocks and thus a Pesin set. All Pesin blocks have the same degree of mean hyperbolicity and all sufficiently long orbit segments with starting points and ending points at the same block are of the same type of quasi-hyperbolicity. We introduce a concept of limit domination, which is weaker than the usual domination. For a $C^1$ diffeomorphism preserving an hyperbolic ergodic measure $\mu$ with limit domination, we show the existence of our Pesin set with $\mu$ full measure, and we realize a closing lemma and shadowing lemma, comparable with Katok's closing lemma and shadowing lemma in the $C^{1+\alpha}\,(0<\alpha<1)$ setting. This enables us to get certain properties in $C^1$ setting with limit domination, which are similar to ones in the classical Pesin theory in the $C^{1+\alpha}$ setting. We present one of such properties, showing that all invariant measures supported on some $\mu$ full measure set can be approximated by periodic measures.

研究の動機と目的

• 古典的ペジン理論を、支配条件を弱めた$C^1$微分同相写像に拡張すること。
• 一様平均双曲性と一貫した準双曲軌道分段を持つ、新しいタイプのペジン集合を構成すること。
• 極限支配下における$C^1$設定で、閉じる補題とシャドウイング補題を確立すること。
• $\mu$-全測度集合に台を持つすべての不変測度が、周期的測度によって近似可能であることを示すこと。

提案手法

• 長期間にわたる軌道分段にわたって一様平均双曲性と一貫した準双曲性を持つ、新しいペジンブロックの構成。
• 古典的支配の弱い代替手段としての極限支配の概念の導入。
• 双曲的エルゴード測度$\mu$と極限支配の下で、$\mu$-全測度のペジン集合の存在の証明。
• カトックの$C^{1+\alpha}$系における結果と同等の、閉じる補題とシャドウイング補題の確立。
• 新規フレームワークを用いて、不変測度を周期的測度で近似することの導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い支配条件の下で$C^1$系において、閉じる補題とシャドウイング補題を確立できるか。
• RQ2 極限支配下において、一様双曲性の性質を持つペジン集合の存在は成立するか。
• RQ3 極限支配下における$C^1$非一様双曲的系において、$\mu$-全測度集合に台を持つすべての不変測度が周期的測度によって近似可能か。
• RQ4 極限支配は、$C^1$設定における古典的ペジン理論的結果の実現に、古典的支配と比較してどのように寄与するか。

主な発見

• 極限支配下における$C^1$微分同相写像に対して、一様平均双曲性と一貫した準双曲性を持つ新しいペジン集合が構成された。
• 双曲的エルゴード測度$\mu$と極限支配の下で、$\mu$-全測度のペジン集合の存在が証明された。
• 極限支配下における$C^1$設定で、カトックの$C^{1+\alpha}$系における結果と類似した閉じる補題とシャドウイング補題が確立された。
• $\mu$-全測度集合に台を持つすべての不変測度が、周期的測度によって近似可能であることが示された。