[論文レビュー] Pfaffian point process for the Gaussian real generalised eigenvalue problem

Peter J. Forrester, Anthony Mays|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$X_1$ と $X_2$ が $N \times N$ 実ガウス行列であるガウス型実一般化固有値問題の固有値に対して、Pfaffian ポイント過程を確立する。joint eigenvalue density を導出し、$k$ 個の実固有値をもつ確率を計算し、高次相関関数の明示的 Pfaffian 公式を提示する。また、ボディスケーリング極限において、これらの相関関数が実ガウス行列のそれらと一致し、2成分クーロンガスの和則を満たすことを示す。

ABSTRACT

The generalised eigenvalues for a pair of $N imes N$ matrices $(X_1,X_2)$ are defined as the solutions of the equation $\det (X_1-λX_2)=0$, or equivalently, for $X_2$ invertible, as the eigenvalues of $X_2^{-1}X_1$. We consider Gaussian real matrices $X_1,X_2$, for which the generalised eigenvalues have the rotational invariance of the half-sphere, or after a fractional linear transformation, the rotational invariance of the unit disk. In these latter variables we calculate the joint eigenvalue probability density function, the probability $p_{N,k}$ of finding $k$ real eigenvalues, the densities of real and complex eigenvalues (the latter being related to an average over characteristic polynomials), and give an explicit Pfaffian formula for the higher correlation functions $ρ_{(k_1,k_2)}$. A limit theorem for $p_{N,k}$ is proved, and the scaled form of $ρ_{(k_1,k_2)}$ is shown to be identical to the analogous limit for the correlations of the eigenvalues of real Gaussian matrices. We show that these correlations satisfy sum rules characteristic of the underlying two-component Coulomb gas.

研究の動機と目的

• 2つの $N \times N$ 実ガウス行列 $X_1$ と $X_2$ におけるガウス型実一般化固有値問題の固有値の統計的性質を特定すること。
• 固有値 $\lambda$ が $\det(X_1 - \lambda X_2) = 0$ を満たす一般化固有値の joint eigenvalue 確率密度関数を導出すること。
• 集合内に正確に $k$ 個の実固有値が存在する確率 $p_{N,k}$ を計算すること。
• 実固有値と複素固有値の高次相関関数 $\rho_{(k_1,k_2)}$ の明示的 Pfaffian 公式を確立すること。
• 確率 $p_{N,k}$ の極限定理を証明し、スケーリングされた相関関数が実ジニブレ集合のそれらに収束することを示すこと。

提案手法

• $Y = X_2^{-1}X_1$ の joint matrix distribution は、密度が $\det(\mathbf{1}_N + YY^T)^{-N}$ に比例する行列コーシー分布として導出される。
• $\lambda = \tan\theta$ による変換により、実直線が単位円に写され、回転対称性と球面上へのステレオグラフィック射影が可能になる。
• 実固有値と複素共役固有値ペアに対応するブロックに行列 $R_N$ を分解することで、joint eigenvalue density を計算する。
• 実固有値の列に関する統合は、$\det(\mathbf{1}_k + R_k R_k^T)$ を含む行列恒等式を再帰的に適用することで行い、1次元積分に帰着する。
• 複素固有値の列に関する積分は、変数変換とセルバージュ積分公式を用いて評価され、ガンマ関数の比が得られる。
• 最終的な相関関数は、joint density と直交多項式構造から導かれる歪対称カーネルを用いて Pfaffian 行列式として表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの i.i.d. 実ガウス行列の一般化固有値の正確な joint 確率密度関数は何か？
• RQ2 一般化固有値問題において、正確に $k$ 個の実固有値が観測される確率 $p_{N,k}$ は何か？
• RQ3 実固有値と複素固有値の高次相関関数 $\rho_{(k_1,k_2)}$ は閉形式で表現可能か？ もしそうなら、それは何か？
• RQ4 $N \to \infty$ の漸近的挙動として $p_{N,k}$ はどのようなものか？ また、普遍的スケーリング極限に収束するか？
• RQ5 一般化固有値のスケーリングされた相関関数は、実ジニブレ集合のそれらに収束するか？ また、2成分クーロンガスの和則を満たすか？

主な発見

• 一般化固有値問題の joint eigenvalue density は、$\lambda = \tan\theta$ の変換後、単位円板上で回転対称的であり、実固有値の密度は $\rho_{(1)}(\lambda) = \frac{1}{\pi} \frac{E_N}{1 + \lambda^2}$ である。ここで $E_N \sim \sqrt{\pi N / 2}$ である。
• $k$ 個の実固有値の確率 $p_{N,k}$ は正確に計算され、$N \to \infty$ の極限定理が証明され、$p_{N,k}$ は普遍的スケーリング形に収束する。実固有値の期待数は漸近的に $\sqrt{2N/\pi}$ に収束する。
• 高次相関関数 $\rho_{(k_1,k_2)}$ の明示的 Pfaffian 公式が導出され、ガンマ関数と行列式を含む歪対称カーネルで表現される。
• ボディスケーリング極限において、一般化固有値の相関関数は実ジニブレ集合のそれらに収束し、ボディーで普遍性が確認される。
• 相関関数は、実固有値と複素固有値の間の競合的相互作用を持つ2成分クーロンガスに特徴的な和則を満たしており、クーロン系との深い関係を示唆する。
• 行列空間上の積分はセルバージュ型積分と行列恒等式を用いて評価され、ガンマ関数の比と $\pi$ の累乗を含む閉形式表現が得られる。