[論文レビュー] Pfaffian Subschemes

Charles Walter|ArXiv.org|Jun 17, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、奇数ランクのベクトル bundle 上の歪対称写像の退化性の軌跡として定義される——つまり、Pfaffian である——コドメイン3の部分スキームの完全な特徴付けを確立する。この部分スキームが Pfaffian であるための必要十分条件は、局所的に Gorenstein であること、部分的正則であること、および次元 n ≡ 0 mod 4 かつ標準的ねじれが偶数のとき、オイラー乗数に偶奇条件を満たすことである。この結果はすべての特徴値、特に特徴値2においても成り立ち、偶奇条件は修正されている。

ABSTRACT

A subscheme $X\subset \Bbb P^{n+3}$ of codimension $3$ is {\em Pfaffian} if it is the degeneracy locus of a skew-symmetric map $f:\cal{E}\spcheck(-t) @>>> \cal{E}$ with $\cal{E}$ a locally free sheaf of odd rank on $\Bbb P^{n+3}$. It is shown that a codimension $3$ subscheme $X\subset\Bbb P^{n+3}$ is Pfaffian if and only if it is locally Gorenstein, subcanonical (i.e.\ $ω_X\cong\cal O_X(l)$ for some integer $l$), and the following parity condition holds: if $n\equiv 0\pmod{4}$ and $l$ is even, then $χ(\cal O_X (l/2))$ is also even. The paper includes a modern version of the Horrocks correspondence, stated in the language of derived categories. A local analogue of the main theorem is also proved.

研究の動機と目的

• 射影空間内のコドメイン3部分スキームが Pfaffian であるための必要十分条件を同定すること。
• 算術的に Gorenstein なスキームの Buchsbaum-Eisenbud 構造定理を、より広いクラスの局所的に Gorenstein で部分的正則なスキームへ拡張すること。
• 局所自由分解を構成するための導来カテゴリにおける Horrocks 対応の定式化を確立すること。
• 正則局所環の次元 > 4 における主定理の局所的類似を示すこと。
• 特徴値2における偶奇条件が、n ≡ 0 mod 4 のみでなく、すべての偶数次元に一般化されなければならないことを示すこと。

提案手法

• 導来カテゴリの枠組みを用いて Horrocks 対応を再表現し、コホモロジー・データがベクトルバンドルへ移行するのを制御可能にする。
• RΓ∗(IX) の導来グローバルセクション複体の切断を適用し、OX のコホモロジーを二つの半分に分割する。
• Horrocks 対応を用いて整合性を保証するように、H∗(OX) の一方の半分を捉える局所的に自由な層 F∞ を構成する。
• F∞ とその双対を組み合わせることで、自己双対的分解を構成し、分解が歪対称的かつ Pfaffian であることを保証する。
• Serre 対応および局所双対性を用いて、オイラー乗数 χ(OX(l/2)) をバンドルのコホモロジー、特に Hn/2(OX(l/2)) と関連付ける。
• 局所状況では Matlis 双対性を用いて、Hn/2(OX) の偶数長の自己直交部分加群を定義し、Pfaffian 分解を構成する上で不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^n 内の局所的に Gorenstein で部分的正則なコドメイン3部分スキーム X が Pfaffian であるのはいつか？
• RQ2 n ≡ 0 mod 4 かつ l が偶数のとき、Pfaffian 構造に追加で必要なコホモロジー的条件（偶奇条件）は何か？
• RQ3 導来カテゴリにおいて Horrocks 対応をどのように再定式化すれば、自己双対的分解を構成できるか？
• RQ4 主定理は正の特徴値、特に特徴値2においても拡張可能か？
• RQ5 正則局所環 R の次元 > 4 における Pfaffian 条件の正確な局所的類似は何か？

主な発見

• コドメイン3部分スキーム X ⊂ P^n が Pfaffian であるための必要十分条件は、X が局所的に Gorenstein であること、部分的正則であること（ωX ≅ OX(l)）、および偶奇条件を満たすことである。ここで偶奇条件とは、n ≡ 0 mod 4 かつ l が偶数のとき、χ(OX(l/2)) が偶数であることである。
• 導来カテゴリにおける Horrocks 対応の定式化により、コホモロジー的データから一貫した自己双対的分解を構成できる。
• 自己双対的分解 (1) は、切断と双対性を用いて明示的に構成され、g および h = g∨ は歪対称写像 f の 2p 階の Pfaffian で与えられる。
• 特徴値2では、偶奇条件を一般化する必要がある：双対性ペアリングの違いにより、n ≡ 0 mod 4 に限らず、すべての偶数次元に適用可能である。
• 局所定理（定理 0.3）はグローバル定理と同値である：正則局所環 R の高さ3の非混合イデアル I が Pfaffian であるための必要十分条件は、R/I が極大イデアルを除いて Gorenstein であること、ωR/I ≅ (R/I)_{sat} であること、および n ≡ 0 mod 4 のとき Hn/2_m(I) が偶数長であることである。
• P^n 内のコドメイン3の滑らか部分多様体で n ≥ 10 の場合、この定理はそれらが Pfaffian であることを示唆するが、Hartshorne の予想によればそれらは完全交差でなければならない。