[論文レビュー] Phase correlations in chaotic dynamics A Shannon entropy measure

P. M. Cincotta, C. M. Giordano|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、カオス的力学系における位相相関を検出するためのシャノンエントロピーに基づく手法を提案する。エントロピーの減衰率が、角変数における弱いまたは強い相関の存在を明らかにする。この手法は、特にアーノルドのハミルトニアンにおいて、通常の拡散近似が相関が顕著な場合には失敗するため、正規拡散からの逸脱を効果的に特定する。

ABSTRACT

In the present work we investigate phase correlations by recourse to the Shannon entropy. Using theoretical arguments we show that the entropy provides an accurate measure of phase correlations in any dynamical system, in particular when dealing with a chaotic diffusion process. We apply this approach to different low dimensional maps in order to show that indeed the entropy is very sensitive to the presence of correlations among the successive values of angular variables, even when it is weak. Later on, we apply this approach to unveil strong correlations in the time evolution of the phases involved in the Arnold's Hamiltonian that lead to anomalous diffusion, particularly when the perturbation parameters are comparatively large. The obtained results allow us to discuss the validity of several approximations and assumptions usually introduced to derive a local diffusion coefficient in multidimensional near--integrable Hamiltonian systems, in particular the so-called reduced stochasticity approximation.

研究の動機と目的

• カオス的系における位相相関を検出する、堅牢で計算的に効率的な手法を開発すること、特に従来の相関関数が不適切な場合を想定する。
• チリコフのアーノルド拡散の定式化において、位相進化が無相関であると仮定する「低次元化された確率性」近似の妥当性に疑問を呈すること。
• 分散のべき則スケーリングに依存しない、カオス的拡散速度の代替測定法を提供すること。シャノンエントロピーを分散に基づく手法とは独立して用いる。
• 近可積分ハミルトニアン系における局所的拡散係数推定値の精度に、位相相関がどのように影響するかを調査すること。
• 特に低次元写像およびアーノルドのハミルトニアンにおいて、弱い相関が異常拡散を引き起こす場合に、本手法がその検出にどれほど感度が高いかを示すこと。

提案手法

• 位相空間の分割における情報含量を測定するために、シャノンエントロピー $\mathcal{I}(N) = -\sum_{k=1}^{q} \mu(a_k) \ln \mu(a_k)$ を用いる。ここで $\mu(a_k) = n_k/N$ は、セル $a_k$ の占有確率を表す。
• 面積保存写像およびハミルトニアン系における時間系列の角変数にエントロピーを適用し、時間 $N$ にわたるその減衰を追跡することで、相関の強さを推定する。
• エントロピーの減衰を理論的期待値と比較する：エルゴディックな振る舞いでは逆数（$\sim t^{-1}$）、一様分布では逆二乗（$\sim t^{-2}$）であり、それらからの逸脱が相関を示唆する。
• 標準写像やスケュー・グラデント写像などの代表的な写像を用いた数値シミュレーションにより、エントロピー法が既知のカオス的力学と整合することを検証する。
• パラメータ $\varepsilon = 0.25$, $\mu = 0.1\varepsilon$ を用いて、アーノルドのハミルトニアン系にこの手法を拡張し、$I_2$ の拡散と位相進化を分析する。
• エントロピーの減衰率を用いて、チリコフのモデルにおける仮定 $\langle \cos^2 \theta_2 \rangle \approx Rt/2$ の妥当性を評価し、特に強い相関がある場合にはこの仮定が成立しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の時間相関関数が計算的に高コストである場合、カオス的系における位相相関を信頼性高く測定する方法は何か？
• RQ2 位相相関がチリコフのアーノルド拡散モデルにおける「低次元化された確率性」近似をどの程度無効にするか？
• RQ3 シャノンエントロピーは、分散に基づくスケーリングとは独立して、カオス的拡散速度をより堅牢に測定できるか？
• RQ4 弱い位相相関が、特に分散成長が遅いまたは準拡散的である系において、異常拡散を誘発する役割を果たすか？
• RQ5 アーノルドのハミルトニアンのどのパrameter領域において、エントロピーに基づく手法がエルゴディック的またはランダムな位相振る舞いからの顕著な逸脱を明らかにするか？

主な発見

• シャノンエントロピーの減衰率は、弱い相関であっても、感度が高く計算的に効率的な位相相関の測定に適している。
• $\kappa = 9.00$ の場合、エントロピーの減衰は $\sim t^{-1}$ に従い、エルゴディックに類似した振る舞いを示す。一方、$\kappa = 1.00$ の場合、$\sim t^{-2}$ に従い、一様な位相分布を示唆する。
• パラメータ $\varepsilon = 0.25$, $\mu = 0.1\varepsilon$, および $|\omega_2^0| < 2$ のアーノルドのハミルトニアン系において、エントロピー解析により準拡散的振る舞いが確認され、CGMB17およびGC18の先行研究結果と整合的である。
• 強い位相相関が存在する場合、チリコフのモデルにおける仮定 $\langle \cos^2 \theta_2 \rangle \approx Rt/2$ は無効である。特に $\omega_2 \lesssim 1$ の場合に顕著である。
• 写像 (25) は、$\mu\varepsilon \ll \varepsilon \ll 1$ かつ $\omega_2$ が 0 や 1 から離れている場合に限り、共振 $\omega_1 = 0$ の混沌的層に沿った拡散を信頼できるモデルとして用いられる。
• $\omega_2 \gg 1$ の場合、低次元化された確率性近似が妥当になるため、モデルの有効性はパラメータに依存し、相関に敏感であることが示された。