[論文レビュー] Phase diagram of the off-diagonal Aubry-André model

Tong Liu, Pei Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Theoretical and Computational Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対称性解析と多分形技法を用いて、一次元非対角アブリ・アンドレ模型の相図を再検討し、追加の拡張相領域を特定するとともに、従来局在化と分類されていた2つの領域が実際には多分形特性を示す主に臨界状態の固有状態を有することを示し、従来の三相分類に疑問を呈する。

ABSTRACT

We study a one-dimensional quasiperiodic system described by the off-diagonal Aubry-André model and investigate its phase diagram by using the symmetry and the multifractal analysis. It was shown in a recent work ({\it Phys. Rev. B} {\bf 93}, 205441 (2016)) that its phase diagram was divided into three regions, dubbed the extended, the topologically-nontrivial localized and the topologically-trivial localized phases, respectively. Out of our expectation, we find an additional region of the extended phase which can be mapped into the original one by a symmetry transformation. More unexpectedly, in both "localized" phases, most of the eigenfunctions are neither localized nor extended. Instead, they display critical features, that is, the minimum of the singularity spectrum is in a range $0

研究の動機と目的

• 従来報告された三相構造を超えて、非対角アブリ・アンドレ模型の相図を再表現・明確化すること。
• 相図の異なる領域を相互に変換する、新しい四サイト周期的対称性変換を同定・適用すること。
• 従来の研究で局在化と分類された領域における固有状態の性質を多分形解析を用いて調査すること。
• 有限サイズスケーリングおよび特異性スペクトル解析を用いて、これらの領域における固有状態が真に局在化、拡張、あるいは臨界的であるかを特定すること。

提案手法

• 四サイト周期的対称性変換を同定し、$ t \leftrightarrow \lambda $、$ \beta \to \beta + 1/2 $、偶数サイトにおける波動関数の符号反転を実行するが、局在化性質は保存される。
• 逆参加比（IPR）を用いて、領域 I および II の固有状態の拡張的性質を数値的に確認する。
• ボックスカウント法を用いて一般化されたフラクタル次元 $ \tau(q) $ を計算し、ルジャンドル変換により特異性スペクトル $ f(\gamma) $ を導出する。
• フィボナッチ鎖（$ L = F_m $）を用いた有限サイズスケーリングにより、最小特異性指数の平均 $ \overline{\gamma_{\text{min}}} $ を計算する。これは状態の性質を示す重要な指標である。
• 平均分配関数 $ \overline{\kappa} \sim l^\tau $ のスケーリングを用いて、臨界状態（$ 0 < \tau < 1 $）と局在化・拡張的挙動を区別する。
• 熱力学的極限（$ 1/m \to 0 $）における $ \overline{\gamma_{\text{min}}} $ の数値的外挿を実行し、固有状態の性質を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対角アブリ・アンドレ模型は、従来報告された三相構造を超えて、追加の拡張相を有するか？
• RQ2 新たな対称性変換が、相図内の異なる領域間の等価性を説明できるか？
• RQ3 従来『局在化』と分類された領域における固有状態は、真に局在化しているのか、それとも臨界的挙動を示すのか？
• RQ4 特異性スペクトルによって定量化された、いわゆる局在化相における波動関数の多分形性の性質は何か？
• RQ5 この準周期系において、特異性スペクトルの有限サイズスケーリングが、拡張状態、局在状態、臨界状態を信頼性高く区別できるか？

主な発見

• 新たに同定された四サイト対称性変換により、領域 I と領域 II を結ぶ追加の拡張相領域が特定された。
• 従来報告された『トポロジカル的に自明な局在化』および『トポロジカル的に非自明な局在化』相（領域 III および IV）は、実際には主に臨界的固有状態を有しており、局在化とは異なる。
• 最小特異性指数 $ \overline{\gamma_{\text{min}}} $ は、$ (\lambda, V) = (0.5, 0.55) $ で 0.35、$ (0.5, 1.55) $ で 0.27 に外挿され、$ 0 < \gamma_{\text{min}} < 1 $ であることが確認され、臨界状態の特徴的兆候である。
• 平均分配関数 $ \overline{\kappa} $ は、$ l $ 全体にわたり $ l^\tau $ に比例してスケーリングされ、局在化プラトーが観測されず、臨界的固有状態の存在を支持する。
• 領域 III および IV における特異性スペクトル $ f(\gamma) $ は連続的区間で非ゼロであるため、多分形性が確認され、純粋な局在化を除外する。
• 本研究の結論として、領域 III および IV は臨界的固有状態が優勢な混合相であり、従来の三相分類に疑問を呈する。