[論文レビュー] Phase estimation with randomized Hamiltonians

Ian Kivlichan, Christopher Granade+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2019

Hydrocarbon exploration and reservoir analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子シミュレーションにおける反復的位相推定に、重要度サンプリングに基づき各ステップで異なるハミルトニアンを使用する確率的ハミルトニアンフレームワークを導入する。この手法により、基底状態に寄与する寄与度の高い項を適応的に選択することで、計算コストを大幅に低減できる。化学的ハミルトニアン上で数値的に示されたように、回路の深さとキュービット数を著しく削減できる一方で、スペクトルギャップの条件下で位相推定の精度と成功確率を維持する。

ABSTRACT

Iterative phase estimation has long been used in quantum computing to estimate Hamiltonian eigenvalues. This is done by applying many repetitions of the same fundamental simulation circuit to an initial state, and using statistical inference to glean estimates of the eigenvalues from the resulting data. Here, we show a generalization of this framework where each of the steps in the simulation uses a different Hamiltonian. This allows the precision of the Hamiltonian to be changed as the phase estimation precision increases. Additionally, through the use of importance sampling, we can exploit knowledge about the ground state to decide how frequently each Hamiltonian term should appear in the evolution, and minimize the variance of our estimate. We rigorously show, if the Hamiltonian is gapped and the sample variance in the ground state expectation values of the Hamiltonian terms sufficiently small, that this process has a negligible impact on the resultant estimate and the success probability for phase estimation. We demonstrate this process numerically for two chemical Hamiltonians, and observe substantial reductions in the number of terms in the Hamiltonian; in one case, we even observe a reduction in the number of qubits needed for the simulation. Our results are agnostic to the particular simulation algorithm, and we expect these methods to be applicable to a range of approaches.

研究の動機と目的

• 反復的位相推定の計算コストを、各ステップで使用するハミルトニアン項を動的に調整することにより低減すること。
• ハミルトニアン項の基底状態期待値に基づく重要度サンプリングを用いて、位相推定の分散を最小化すること。
• 元のハミルトニアンがギャップを持ち、項の分散が小さい場合に、確率的ハミルトニアンが高い忠実度と成功確率を維持することを示すこと。
• シミュレーションの初期段階で無関係なハミルトニアン項を特定・除外することで、時間計算量と空間計算量の両方を低減すること。
• 従来のシミュレーションコスト低減技術を、項の数にとどまらず、ハミルトニアン成分の適応的サンプリングへと一般化すること。

提案手法

• 重要度サンプリングを用いて、ハミルトニアン項にその基底状態期待値に基づく確率を割り当て、寄与度の高い項を優遇する。
• 位相推定の各反復において、重要度重みに従って項をサンプリングし、異なる確率的ハミルトニアンを構築することで、使用する項の数を削減する。
• 理論的分析では、量子ゼノン効果と断続的定理を用いて、固有状態準備および位相蓄積における誤差を束縛する。
• 重要な方程式では、理想のユニタリ変化と実際の変化の差を $ \|U_k - U_{k,\text{ad}}\| \leq \frac{2\lambda^2}{(\gamma - 2\lambda)^2} $ で束縛する。ここで $ \lambda $ は摂動強度、$ \gamma $ はスペクトルギャップである。
• 位相推定の分散を最小化するため、行列要素 $ |\langle \psi_p^k | V_k | \psi_0^k \rangle| $ の絶対値に比例する分布を選ぶ。
• この手法は、下位のシミュレーションアルゴリズムに依存しないため、さまざまな量子シミュレーション方式に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復的位相推定が、固定されたハミルトニアンではなく、各ステップで異なる確率的ハミルトニアンを使用しても、精度を維持できるか？
• RQ2 ハミルトニアン項の重要度サンプリングが、位相推定の分散と収束性にどのように影響するか？
• RQ3 ハミルトニアンのランダム化が、位相推定の成功確率を低下させない条件は何か？
• RQ4 低影響のハミルトニアン項を省略することで、キュービット数と回路深さをどの程度削減できるか？
• RQ5 この手法は、標準的位相推定を超えた他の量子シミュレーションアルゴリズムへも一般化可能か？

主な発見

• 使用するハミルトニアン項の数に顕著な削減が達成され、ある化学系では必要なキュービット数の削減が確認された。
• 数値的シミュレーションにより、スペクトルギャップの条件下で、確率的ハミルトニアンが位相推定の精度と成功確率を維持することが確認された。
• 位相推定の分散が、基底状態における行列要素の絶対値に比例するサンプリングを行うことで最小化される。
• 理論的境界では、スペクトルギャップ $ \gamma $ が摂動強度 $ \lambda $ より十分に大きい場合、固有値推定誤差は無視できるほど小さいまま保たれる。
• 無関係なキュービットや項を特定・除外することで、時間計算量の低減が可能であり、場合によっては空間計算量の低減も達成される。
• 成功確率は、$ \lambda / \gamma < \sqrt{1 - \exp(\log(1 - \epsilon)/(M - 1))} $ を満たす限り高く保たれ、測定ステップでの失敗率が低くなる。