[論文レビュー] Phase Field Crystal model for particles with n-fold rotational symmetry in two dimensions

Robert Weigel, Michael Schmiedeberg|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2022

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 49被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、n重回転対称性を持つ二次元粒子を対象とした一般化された位相場結晶（PFC）モデルを提案する。密度および配向秩序パラメータを組み合わせることで、異方的相互作用を記述する。このモデルは、等方的、ネマチック、ストライプ、三角格子、および正方形、平行四辺形、ハニカム、十二重準結晶的秩序を示す複雑なクラスタ結晶を含む豊富な相図を捉え、結合角が好まれる条件下では、単一長さスケールの相互作用からも準結晶が出現しうることを示している。

ABSTRACT

We introduce a Phase Field Crystal (PFC) model for particles with n-fold rotational symmetry in two dimensions. Our approach is based on a free energy functional that depends on the reduced one-particle density, the strength of the orientation, and the direction of the orientation, where all these order parameters depend on the position. The functional is constructed such that for particles with axial symmetry (i. e. n = 2) the PFC model for liquid crystals as introduced by H. L\"owen [J. Phys.: Condens. Matter 22, 364105 (2010)] is recovered. We discuss the stability of the functional and explore phases that occur for $1 \leq n \leq 6$. In addition to isotropic, nematic, stripe, and triangular order, we also observe cluster crystals with square, rhombic, honeycomb, and even quasicrystalline symmetry. The n-fold symmetry of the particles corresponds to the one that can be realized for colloids with symmetrically arranged patches. We explain how both, repulsive as well as attractive patches, are described in our model.

研究の動機と目的

• 2次元においてn重回転対称性を持つ粒子の平衡相を捉えるPFCモデルの構築。
• 変調された整列相互作用を通じて、引力的・反発的パッチ付きコロイドを記述。
• n重対称性および配向秩序が、準結晶を含む複雑で非自明な相をどのように導くかの解明。
• ハニカム、正方形、十二重など高次対称性を示すクラスタ結晶が出現する条件の同定。

提案手法

• モデルは、次元削減密度場 ψ および複素配向場 U = ψ₂ exp(i nϕ) に依存する自由エネルギー関数に基礎を置く。ここで ψ₂ はネマチック秩序パラメータ、ϕ は配向軸を表す。
• 自由エネルギーには勾配項、非線形項、および ψ と U 間の結合項が含まれ、パラメータを調整することで異なる相を安定化させる。
• n=2 の場合、L"owen の2重PFCモデルを回復し、既存の液体結晶理論と整合性を保つ。
• 密度は保存的、配向は非保存的であることを前提に、時間発展PFC方程式を用いて自由エネルギーを数値的に最小化する。
• Bl、Bx、D、E、F および整列タイプ（変調あり／なし）を変化させることで、相の安定性を分析する。
• 周期的・準周期的・欠陥構造の同定には、フーリエ変換および空間的配置を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子にn重回転対称性がある場合、2次元PFCモデルにおける平衡相形成にどのように影響を与えるか？
• RQ2 単一長さスケールと異方的相互作用を有するPFCモデルで、準結晶的秩序が出現しうるか？
• RQ3 引力的・反発的パッチ相互作用が、異なるクラスタ結晶対称性の安定化に果たす役割は何か？
• RQ4 n重対称性と競合する配向秩序を有する系において、格子粒界や欠陥はどのように形成されるか？

主な発見

• 本モデルは、さまざまなnに対して等方的、ネマチック、ストライプ、三角格子秩序といった既知の相を再現する。
• n = 4 の場合、変調された整列により、十二重回転対称性を示す安定なハニカム相が得られる。
• n = 6 の場合、変調された整列により、フーリエ変換で12重対称性を示す正方形相が安定化する。
• n = 6 の条件下で、変調された整列の下で十二重準結晶が観察され、フーリエ変換で12重対称性が確認された。
• 5重対称性を持つ粒子の三角格子相において、格子粒界に欠陥が観察され、配向場が局所的な五重対称性に整列していた。
• 本モデルは準安定な準結晶的状態を予測しており、このような相が動的経路によって到達可能である可能性を示唆している。