[論文レビュー] Phase-free ZX diagrams are CSS codes (...or how to graphically grok the surface code)

Aleks Kissinger|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、位相フリーなZX図式—量子状態の図式的表現—と、主要なクラスの量子誤り訂正符号であるCalderbank-Shor-Steane（CSS）符号との間で、正確な一対一の対応関係を確立する。著者らは、位相フリーなZX図式とCSS符号の両者に共通するF₂線形構造が同一であることを示し、これにより、符号の安定化子生成子、論理的演算子、およびラティスソークの操作を、図式的ルールのみを用いて完全に図式的かつ体系的に導出可能にする。特に、表面符号に対して有効である。

ABSTRACT

In this paper, we demonstrate a direct correspondence between phase-free ZX diagrams, a graphical notation for representing and manipulating a certain class of linear maps on qubits, and Calderbank-Shor-Steane (CSS) codes, a large family of quantum error correcting codes constructed from classical codes, including for example the Steane code, surface codes, and colour codes. The stabilisers of a CSS code have an especially nice structure arising from a pair of orthogonal $\mathbb F_2$-linear subspaces, or in the case of maximal CSS codes, a single subspace and its orthocomplement. On the other hand, phase-free ZX diagrams can always be efficiently reduced to a normal form given by the basis elements of an $\mathbb F_2$-linear subspace. Here, we will show that these two ways of describing a quantum state by an $\mathbb F_2$-linear subspace $S$ are in fact the same. Namely, the maximal CSS code generated by $S$ fixes the quantum state whose ZX normal form is also given by $S$. This insight gives us an immediate translation from stabilisers of a maximal CSS code into a ZX diagram describing its associated state. We show that we can extend this translation to stabilisers and logical operators of any (possibly non-maximal) CSS code by "bending wires". To demonstrate the utility of this translation, we give a simple picture of the surface code and a fully graphical derivation of the action of physical lattice surgery operations on the space of logical qubits, completing the ZX presentation of lattice surgery initiated by de Beudrap and Horsman.

研究の動機と目的

• 位相フリーなZX図式とCSS符号の間で、厳密で直接的な対応関係を確立すること。
• ZX記法における安定化子生成子の局所性と構造を保ち、従来の翻訳で見られた物理的直感の喪失を回避すること。
• 代数的または行列表現に依存せずに、特に表面符号を含む安定化子符号について図式的フレームワークを完全に提供すること。
• ZX記法を拡張し、図式的書き換えルールのみを用いて、CSS符号におけるラティスソーク操作を体系的に導出可能にする。
• 本結果を量子系（qudit）系やCSS族に属さない他の安定化子符号へ一般化する基盤を築くこと。

提案手法

• 位相フリーなZX図式が有するF₂線形構造を活用し、部分空間Sに基づく正規形に簡約可能であることを用いる。
• 最大のCSS符号の安定化子生成子を用いて、同一の部分空間Sを持つ位相フリーなZX図式を直接構築する。
• πコピー、補完性、強補完性といった図式的書き換えルールを適用し、ラティスソークなどの物理的操作を模倣する。
• X-表現またはZ-表現におけるZX図式の操作により、表面符号のパッチにおけるX-スプリットおよびZ-マージ操作を導出する。この際、論理的キュービットの構造を保持する。
• 測定に基づく操作で生じるパウリ誤りを誤り訂正（e.c.）により吸収し、論理的計算において無視可能であるとみなす。
• 色の双対性と回転を用いて、任意サイズの表面符号パッチへ拡張し、他の操作へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相フリーなZX図式を、その内在するF₂線形構造を保ちつつ、安定化子符号、特にCSS符号へ体系的に写像することは可能か？
• RQ2 表面符号におけるラティスソーク操作を、代数的または回路ベースの手法に頼らず、ZX記法における図式的書き換えのみで導出可能か？
• RQ3 ZX記法は、『曲げられたワイヤー』や図式的変換を用いて、非最大のCSS符号の論理的演算子と安定化子生成子をどの程度正確に表現できるか？
• RQ4 ZX図式とCSS符号の対応関係は、トポロジカル量子符号のより直感的かつ厳密な理解をどのように可能にするか？
• RQ5 このフレームワークは、量子系（qudit）系や非CSS安定化子符号へ一般化可能か？また、新たな技術的課題は何か？

主な発見

• 位相フリーなZX図式と最大のCSS符号は、共通するF₂線形部分空間Sを介して一対一に対応し、図式の正規形は符号の安定化子生成子と一致する。
• CSS符号の安定化子生成子は、X-表現またはZ-表現を用いて、符号の物理的局所性を保ちつつ、直接的にZX図式に翻訳可能である。
• ラティスソーク操作（X-スプリット、Z-スプリット、X-マージ、Z-マージ）は、標準的なZXルール（πコピー、補完性、強補完性）を用いて完全に図式的に導出可能である。
• これらの操作の導出はスケーラブルであり、3×3の例に限らず、任意サイズの表面符号パッチに一貫して適用可能である。
• 色の双対性と回転を用いることで、Z-表現に対しても同様の方法が適用可能であり、表面符号操作の完全な図式的描写が可能になる。
• 本フレームワークは、欠損のバーティング、カラーレジーム、量子系（qudit）系への図式的推論の拡張の基盤を提供し、キュービットを超える広範な応用可能性を示唆している。