[論文レビュー] Phase of the quantum oscillator

H. S. Sharatchandra|ArXiv.org|Oct 6, 1997

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ゲージ理論と箱の中の粒子モデルにインspiredされてヒルベルト空間を拡張することで、調和振動子に対する量子位相演算子を定義する長年の課題に取り組む。周期性を考慮した新しい位相不確定性の測度を導入し、数-位相不確定性関係を導出し、位相演算子の自己随伴性を保証する。また、Z₂ゲージ対称性をもつ平面的回転子と調和振動子のヒルベルト空間のユニタリ同値性を確立し、ロンドンの位相波動関数をより大きなヒルベルト空間の枠組み内で正当化する。

ABSTRACT

Requirements of a conjugate operator are emphasized, especially in its role in uncertainty relations.It is argued that in many contexts it is necessary to extend the Hilbert space in order to define a conjugate operator as in gauge theories. Example of a particle in a box is analysed. This is closely related to the quantum oscillator through cosine states of Susskind and Glogower.It is used to justify London's phase wave functions albeit as part of a larger Hilbert space. A new definition phase uncertainty neccessiated by periodicity is proposed.It is close to the usual r.m.s. definition.Corresponding number- phase uncertainty relation is obtained and its implications are discussed. Hilbert space of an oscillator is identified with the Hilbert space of a planar rotor with a $Z_2$ gauge invariance.This is used to construct states analogous to the cosine and sine states and to illustrate unitary equivalence of Hilbert spaces.

研究の動機と目的

• 量子調和振動子に対して共役位相演算子を定義するという基礎的問題を解決すること。
• 標準的な不確定性関係を無効にする位相の周期性問題に対処すること。
• より大きなヒルベルト空間の構成を通じてロンドンの位相波動関数を正当化すること。
• 調和振動子のヒルベルト空間とZ₂ゲージ対称性をもつ平面的回転子のヒルベルト空間とのユニタリ同値性を確立すること。
• 周期的位相を考慮した整合的な数-位相不確定性関係を導出すること。

提案手法

• ゲージ理論に類似した自己随伴位相演算子を実現するため、ヒルベルト空間を拡張する。
• 周期的系と共役演算子をもつ系のプロトタイプとして、箱の中の粒子モデルを分析する。
• ススキンドのコサイン状態とサイン状態を用いて、振動子における位相に類似した観測可能量をモデル化する。
• 位相の周期性を尊重する新しい位相不確定性の定義を導入する。
• 平面的回転子のZ₂ゲージ不変形式を構築し、振動子のヒルベルト空間をモデル化する。
• ゲージ固定の構成を通じて、振動子と平面的回転子のヒルベルト空間のユニタリ同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子調和振動子に対して、一貫性をもって自己随伴位相演算子を定義する方法は何か？
• RQ2 位相の周期性を尊重する正しい位相不確定性の定式化は何か？
• RQ3 量子振動子のヒルベルト空間は、Z₂ゲージ対称性をもつ平面的回転子のヒルベルト空間とどのように関係するか？
• RQ4 ロンドンの位相波動関数は、より大きなヒルベルト空間の枠組み内で厳密に正当化可能か？
• RQ5 位相の周期性が存在する状況下で、数-位相不確定性関係の形はいかなるものか？

主な発見

• 位相演算子の周期性を正しく反映する新しい位相不確定性の定義が提案された。
• 周期的境界条件と整合的な形で、数-位相不確定性関係が導出された。
• 量子振動子のヒルベルト空間は、Z₂ゲージ対称性をもつ平面的回転子のヒルベルト空間とユニタリ同値である。
• ロンドンの位相波動関数は、拡張されたヒルベルト空間の枠組み内で有効な状態として正当化された。
• 箱の中の粒子モデルは、周期的系における共役演算子を構築する上で有用な類似例を提供する。
• 自己随伴位相演算子の実現にはヒルベルト空間の拡大が必要であり、これはゲージ理論と類似していることが示された。