[論文レビュー] Phase Recovery, MaxCut and Complex Semidefinite Programming

Irène Waldspurger, Alexandre d’Aspremont+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 35被引用数 54

ひとこと要約

本稿では、MaxCut SDPを模倣した凸半定値計画法の緩和手法であるPhaseCutを提案する。この手法は、行列-ベクトル反復を用いた効率的なブロック座標降下法を可能にする。ノイズのない条件下でPhaseLiftと修正されたPhaseCutの等価性を確立し、従来の手法と比較してノイズやスパースな状況下でもより優れた安定性を示す。

ABSTRACT

Phase retrieval seeks to recover a signal x from the amplitude |Ax| of linear measurements. We cast the phase retrieval problem as a non-convex quadratic program over a complex phase vector and formulate a tractable relaxation (called PhaseCut) similar to the classical MaxCut semidefinite program. We solve this problem using a provably convergent block coordinate descent algorithm whose structure is similar to that of the original greedy algorithm in Gerchberg-Saxton, where each iteration is a matrix vector product. Numerical results show the performance of this approach over three different phase retrieval problems, in comparison with greedy phase retrieval algorithms and matrix completion formulations.

研究の動機と目的

• 複素ベクトル空間における非凸位相再構成問題を、単位複素トーラス上の二次計画問題に再定式化する。
• 複素測定値に特化したMaxCut半定値計画法を模倣した、解釈可能な凸緩和法「PhaseCut」を構築する。
• 古典的Gerchberg-Saxton法と同等の反復計算量を維持しつつ、収束性が保証されたブロック座標降下法を設計する。
• ノイズのない状況下で、PhaseCutとPhaseLiftの理論的等価性およびタイトネス条件を確立し、ノイズがある状況での安定性を比較する。
• 実験的に、PhaseCutがグリーディアルゴリズムや行列補完定式化よりも、特にノイズやスパarsityがある状況で優れた耐障害性を示すことを示す。

提案手法

• すべての $ i $ に対して $ |u_i| = 1 $ を満たす複素位相ベクトル $ u riangleq rac{Ax}{|Ax|} $ を用いて、位相再構成を非凸二次計画問題に再定式化する。
• Rank-one制約を含む $ X = xx^* $ を用いて、MaxCut SDPに類似した複素半定値計画問題への問題の挙上により、凸緩和法「PhaseCut」を導出する。
• 各反復で行列-ベクトル積を実行するブロック座標降下法を用い、反復ごとの計算コストを低く抑えつつ、収束性を保証する。
• ノイズのない状況下で、写像 $ A $ が単射で $ b = |Ax| $ がゼロでない場合に、PhaseLiftと理論的に等価となるように修正されたPhaseCut定式化を導入する。
• 制約行列の構造（シングルトン）を活用することで、PhaseLiftよりも問題サイズが大きいにもかかわらず、効率的な計算を可能にする。
• 真のGram行列と回復されたGram行列の差のトレースに基づく境界を用いて安定性を分析し、$ ext{Tr}(V_{PC}^ot) riangleq d_1(V_{PC}, ext{range}(A)) $ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相再構成は、複素単位トーラス上の非凸二次計画問題に再定式化可能であり、これにより新たな凸緩和法が可能になるか？
• RQ2 MaxCutに類似した半定値緩和法「PhaseCut」は、位相再構成においてPhaseLiftと同等またはそれ以上の性能を達成できるか？
• RQ3 PhaseCut緩和法がタイトになる条件は何か？ また、これはPhaseLiftのタイトネスとどのように関係するか？
• RQ4 ノイズやスパarsityがある状況下で、PhaseCutはPhaseLiftやグリーディアルゴリズムと比較して安定性に優れているか？
• RQ5 PhaseCut用のブロック座標降下法は、Gerchberg-Saxton法と同等の計算効率を維持しつつ、収束性を保証できるか？

主な発見

• PhaseCutは、MaxCut SDPに類似した構造を持つ位相再構成の凸緩和法であり、ブロック座標降下法による効率的な解法が可能である。
• 本稿では、PhaseLiftのタイトネスが、弱い仮定の下で修正されたPhaseCutのタイトネスを示し、逆も同様に成り立つことを証明し、ノイズのない状況下で理論的等価性を確立した。
• ノイズのない状況下で、$ A $ が単射で $ |Ax| $ にゼロ成分がない場合、PhaseLiftと修正されたPhaseCutは等価である。
• 数値比較により、特に $ b = |Ax| $ がスパースな場合、ノイズがある状況下でPhaseCutがPhaseLiftよりもより安定していることが実験的に示された。
• PhaseCut用のブロック座標降下法の反復計算量は、Gerchberg-Saxton法と同一であり（行列-ベクトル積）、計算効率が保証されている。
• 理論的境界により、$ ext{Tr}(V_{PC}^ot) riangleq d_1(V_{PC}, ext{range}(A)) riangleq ext{Tr}((I - AA^ op)V_{PC}(I - AA^ op)) riangleq ext{Tr}(V_{PC}(I - AA^ op)) $ が得られ、この量は $ orm{b_{ ext{n,PC}}}_2^2 $ で有界であることが示され、安定性保証が得られた。