[論文レビュー] Phase retrieval: an overview of recent developments

Kishore Jaganathan, Yonina C. Eldar+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

X-ray Diffraction in Crystallography参考文献 74被引用数 124

ひとこと要約

本論文は、スパース回復、マスクベースの手法、短時間フーリエ変換（STFT）技術を含む、古典的で現代的な手法を網羅的に概説する。理論的一意性の結果、Wirtinger Flow や半正定値計画法（SDP）のようなアルゴリズムの発展、数値的妥当性を統合し、光物理学、信号処理、計算画像処理分野の研究者にとって統一的な参照資料を提供する。

ABSTRACT

Contents Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Classic Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Recent Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Sparse Phase Retrieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Phase Retrieval Using Masks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Uniqueness and Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275SDP Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Wirtinger Flow Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Combinatorial Methods (for the Noiseless Setting) . . . . . . . . . . . . . . . . 278Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 STFT Phase Retrieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Nonvanishing Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Sparse Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Introduction In many physical measurement systems, one can only measure the power spectral density, that is, the magnitude square of the Fourier transform of the underlying signal. For example, in an optical setting, detection devices like CCD cameras and photosensitive films cannot measure the phase of a light wave and instead measure the photon flux. In addition, at a large enough distance from the imaging plane the field is given by the Fourier transform of the image (up to a known phase factor). Thus, in the far field, optical devices essentially measure the Fourier transform magnitude. Since the phase encodes a lot of the structural content of the image, important information is lost. The problem of reconstructing a signal from its Fourier magnitude is known as phase retrieval [1,2]. This reconstruction problem is one with a rich history and arises in many areas of engineering and applied physics, including optics [3], x-ray crystallography [4], astronomical imaging [5], speech processing [6], computational biology [7], and blind deconvolution [8].

研究の動機と目的

• 多様な科学的・工学的応用分野における位相再構成の最近の理論的・アルゴリズム的進展を統合的かつ分析的に整理すること。
• 光学、結晶化学、音声処理で生じる、フーリエ変換の位相情報が欠落した状態での信号再構成という根本的課題に取り組むこと。
• 特にスパース信号および非ゼロ信号の設定において、一意的再構成が可能となる条件を検討すること。
• Wirtinger Flow や SDP に基づくソルバーのような現代的アルゴリズムの性能および収束特性を評価すること。
• ノイズのない状態とノイズのある状態の両方の条件下で、数値シミュレーションを通じて手法を体系的に比較すること。

提案手法

• 反復的射影および誤差低減アルゴリズムに基づく古典的位相再構成手法のレビュー。
• 変換領域における信号のスパarsityを活用するため、ℓ1正則化を組み込んだスパース位相再構成の導入。
• 複数の符号化マスクを用いて追加の測定値を生成し、一意性を向上させるマスクベースの位相再構成の分析。
• 非凸最適化問題を凸最適化問題に変換するため、半正定値計画法（SDP）の緩和法を適用。
• 特定の条件下で理論的収束保証を持つ非凸最適化手法としてのWirtinger Flowアルゴリズムの使用。
• 代数的およびグラフ理論的構造を活用して正確な再構成を達成する、ノイズのない位相再構成のための組合せ的手法の検討。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ信号やスパース信号に対して、位相再構成問題が一意的に解ける条件は何か、特にその場合の制限は何か？
• RQ2 Wirtinger Flow や SDP に基づくソルバーのような現代的アルゴリズムは、収束速度およびノイズ耐性においてどのように比較されるか？
• RQ3 符号化マスクは、位相再構成における一意性と安定性をどのように向上させるか？
• RQ4 信号モデルの選択（例：スパース、非ゼロ）が、位相再構成アルゴリズムの性能にどのように影響を与えるか？
• RQ5 STFTドメインにおける位相再構成の理論的・実験的限界は何か？ また、フーリエベースの手法と比較してどう異なるか？

主な発見

• 非ゼロ信号や、測定系において十分な不整合性を有するスパース信号に対しては、比較的弱い条件下でも位相再構成の一意性が保証される。
• Wirtinger Flow アルゴリズムは、適切なサンプリング条件のもとで、真の信号へのグローバル収束を高い確率で達成する。
• SDPに基づく手法は、ノイズのない状況では正確な再構成を達成し、ノイズのある状況では安定した再構成を実現するが、計算コストが高くなる傾向がある。
• マスクベースの位相再構成は、測定値における構造的多様性を導入することで、一意性の向上と曖昧さの低減を顕著に実現する。
• 数値的シミュレーションにより、スパース位相再構成手法が低SNR環境下で従来手法を上回ることが確認された。
• STFTに基づく位相再構成は、スパarsity制約と組み合わせることで、時間周波数局在信号の再構成をより高い耐障害性で可能にする。